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排列与组合篇(1):排列组合常用方法总结
排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！
排列组合常用方法总结
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；
(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)
(2)乘法原理和分步计数法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
[例题分析]排列组合思维方法选讲
1．首先明确任务的意义
例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?
分析：对实际背景的分析可以逐层深入
（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，
∴ 本题答案为：=56。
2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有一种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。
例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有种；
第二类：这两人有一个去当钳工，有种；
第三类：这两人都不去当钳工，有种。
因而共有185种。
例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有种方法；
抽出的三数含0不含9，有种方法；
抽出的三数含9不含0，有种方法；
抽出的三数不含9也不含0，有种方法。
又因为数字9可以当6用，因此共有2×(+)++=144种方法。
例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。
3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，
共+种站法。
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共+2+=312种。
例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有种可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有种可能。
∴ 共有种可能。
4．捆绑与插空
例11. 8人排成一队
(1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻
(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：（1）有种方法。
（2）有种方法。
（3）有种方法。
（4）有种方法。
（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。
用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，共--+=23040种方法。
例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即。
例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共=20种方法。
4．间接计数法.(1)排除法
例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，
∴ 共种。
例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共-12=70-12=58个。
例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
分析：由于底数不能为1。
（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。
（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53个。
(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题
例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。
（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， ∴ 共=120种。
例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。
5．挡板的使用
例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。
6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
例21. 从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数?
分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。
（一）两个选出的偶数含0，则有种。
（二）两个选出的偶数字不含0，则有种。
例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种。
（二）选择10层中的四层下楼有种。
∴ 共有种。
例23. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
(1)可组成多少个不同的四位数?
(2)可组成多少个不同的四位偶数?
(3)可组成多少个能被3整除的四位数?
(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?
分析：（1）有个。
（2）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。
∴ 共+种。
（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96种。
（4）首位为1的有=60个。
前两位为20的有=12个。
前两位为21的有=12个。
因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。
7．分组问题
例24. 6本不同的书
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析：（1）有中。
（2）即在（1）的基础上除去顺序，有种。
（3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。
（4）有种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。
（5）有种。
例25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。
分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。
第一类：平均分成3人一组，有种方法。
第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合（一）（二），有种。
例26. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有________种.
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有=种分组方法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，
由（一）（二）可知，共=240种。
排列与组合篇(2):排列与组合教学反思
导语：排列，一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。以下是小编整理排列与组合教学反思的资料，欢迎阅读参考。
排列与组合教学反思1
排列和组合的教学，旨在引导学生从生活经验和已有的知识出发，学习有序思考问题的方法，注重引导学生把课堂中所学的数学知识和方法应用于生活实际，既加深对数学知识的理解，又能让学生切实体验到生活中处处有数学，体会到数学的价值和感受“用数学”的愉悦。整个教学过程我给了学生很大的学习空间，创设了多个活动情境，使得学生始终在玩中感受数学，在玩中体会排列的知识，通过师生的双边活动、合作交流和自主探究，使学生完全在平等、自由、和谐的氛围中学习。
在课上，我更多的是放手让学生自己来探索，让他们四人小组合作操作。比如拍照问题，由一名学生指挥，其余三名学生根据指挥“站位置”，然后换一名学生指挥，其余三名学生“站位置”，然后请小组上来演示，优化最有序的一种方法。在握手问题也是同样，先一人记录次数，三人握手，再汇报示范，然后试一试四人小组握手的情况，在学生充分操作之后，请四名学生上台演示，有了刚才三人两两握手的经验，很大一部分学生能用有序的方法握手。这样不仅使得学生可以在动手操作的过程中学会新知，最大限度的发挥了他们的聪明才智，特别是对于平时学习比较困难的学生，在这样一个有趣而少有负担的课堂上，也表现出不同寻常的认真和自信。而且在小组交流中学会了如何与同伴合作、交流，培养了他们小组合作意识和能力，也提高了他们发现问题、解决问题的能力，由此也体现出学生的主体地位。
然而，这样的“放手”教学也存在一些问题，比如：在课上的40分钟时间控制的不好，小组合作的时间有些过长，导致后面的练习量没有全部完成。在今后的教学中，要更好的控制教学速度，提高课堂效率。
排列与组合教学反思2
“数学广角”是新版教材安排的内容，每册教材都有涉及，是在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。本册安排的排列和组合的思想方法不仅在学生以后的实际生活中应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。数学广角的内容每册书一般有两个例题，内容不多，看似简单，实则比较难懂。
昨天学校督导课，我就上了排列这一节课，这节课重点要培养学生有顺序地全面地思考问题的意识，为了达到这个目标，我做了大量认真仔细的准备工作，首先认真研读教学参考书对本节课的解读，明确了本节课的教学目标、重难点，然后精心设计教学过程，精心制作教学，为学生准备了课堂上要使用的2份作业纸，还布置学生在家里制作了数字、字母卡片，三朵花。功夫不负有心人，上完本节课，我自己感觉学习效果非常好，学生也得到了相应的训练和发展，现把本节课反思如下：
本节课比较成功的地方有：
1.教学过程设计有趣味，符合二年级小孩子的心理特征
本节课，我设计了小豆班运动会的情境，以这个情境为主线，给运动员编号码，分彩花，照相留念。孩子们都喜欢动画片大耳朵图图里边的动画形象，所以他们很乐意参与到本节课的学习。这节课纪律井然有序，学生学得轻松自如，以前我班的一些男生上课总是随意说话，这次可能也是因为有很多听课老师，他们不敢随意说话，因此就认真听课了，正好这次的设计他们也喜欢，因此，整节课教学气氛好，活而不乱。
2.教学效果显著
我们的教学需要高效课堂，本节课排列的思考方法学生学习得很清楚、明白，我巡视时发现以前一些学东西很慢的几个学生都掌握了，听课老师巡视，也发现学生掌握非常好。课前备课时，我还担心学生学习有困难，特意把两道练习题的答案都做成了动态直观的，想着到时向学生展示，但是最后都没用到，因为学生都很会想，会表达，根本无需看我的答案。
3.注重了学生数学思想方法和数学语言的培养
排列和组合重点要培养学生有序的思考，这节课，我非常注重学生有序思考，教给他们有序思考的方法，还注重他们有序的表达自己的想法，邢皓斌同学讲解自己的方法时，就非常清楚有序，我及时表扬了他。
4.课前准备充足有效
为了保证本节课顺利高效，课前我做了大量的准备工作，备课、做、布置指导学生做数字和字母卡片，剪纸花等，各项工作准备充分。
5.板书设计整齐、井然有序
为了能突出本节课的重点、难点内容，我设计了井然有序的板书，为了上课时用两种思考方法写组成的两位数，头一天下午我就在黑板上画好了两个表格，这样避免了只用，翻页后学生啥都不记得了的现象。督导的各位领导对我的板书设计也大为赞赏。
6.注重了学生的自主学习和动手操作
低年级学生以形象思维为主，这节课的教学内容难度较大，为了让学生能更容易理解，我让他们提前准备了各种卡片和彩花，让他们自己动手摆数字和小花，通过形象的拼摆，他们对于组数、分花、照相站队认识非常形象到位。
7.练习题的设计注重形式多样
本节课共设计了两道练习题，第一题和例题形式相似，目的是为了巩固例题，第二题稍微有了难度，需要把例题中学的两种方法都用上，这样训练，学生对于本节课的知识掌握非常扎实。
本节课还需改进的地方是：
1.老师的教学语言再力求精炼。
2.第二个练习题可以换一换形式，找三个学生先站一站，再摆卡片，或是直接让学生三人一组站队，这样，学生活学活用，能切实体会到数学于生活又服务于生活。
排列与组合篇(3):高中排列与组合说课稿
好的数学教育应该从学习者的生活经验和已有的知识背景出发。接下来小编为大家推荐的是高中排列与组合说课稿，欢迎阅读。
一、说教学目标
1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力
二、说教材分析
1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．
2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．
三、说活动设计
1.活动：思考，讨论，对比，练习．
2.教具：多媒体课件．
四、说教学过程正
1．新课导入
随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课
我们先看下面两个问题．
(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
板书：图
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，
在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十?十mn种不同的方法．
(2)我们再看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
板书：图
这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一
种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有
mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2?mn种不同的方法．
例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．
答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？
例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，
这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．
答：可以组成125个三位数．
练习：
1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、?、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、?、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出
多少个加法式子？
3．题2的变形
4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？
2．在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？
4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
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