[高中数学函数]高中函数

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第一篇高中函数:高中函数应用题测试题及答案

　　一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
　　1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是 ()
　　A．(1，－4) B．(4，－1)
　　C．1，－4 D．4，－1
　　解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.
　　答案：D
　　2．今有一组实验数据如下表所示：
　　t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
　　u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
　　则体现这些数据关系的最佳函数模型是 ()
　　A．u＝log2t B．u＝2t－2
　　C．u＝t2－12 D．u＝2t－2
　　解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D验证易知，C最近似．
　　答案：C
　　3．储油30 m3的油桶，每分钟流出34 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为 ()
　　A．[0，＋) B．[0，452]
　　C．(－，40] D．[0,40]
　　解析：由题意知Q＝30－34t，又030，即0 30－34t30，040.
　　答案：D
　　4．由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低13，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为 ()
　　A．2 400元 B．900元
　　C．300元 D．3 600元
　　解析：由题意得8 100(1－13)3＝2 400.
　　答案：A
　　5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ()
　　A．(－2，－1) B．(－1,0)
　　C．(0,1) D．(1,2)
　　解析：f(－1)＝2－1＋3(－1)＝12－3＝－520，
　　f(0)＝20＋30＝10.
　　∵y＝2x，y＝3x均为单调增函数，
　　f(x)在(－1,0)内有一零点
　　答案：B
　　6．若函数y＝f(x)是偶函数，其定义域为{x|x0}，且函数f(x)在(0，＋)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有 ()
　　A．唯一一个 B．两个
　　C．至少两个 D．无法判断
　　解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f(x)在(0，＋)上有且仅有一个零点，则在(－，0)上也仅有一个零点．
　　答案：B
　　7．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为 ()
　　A．0 B．1
　　C．2 D．3
　　解析：由f(x)＝0，得x0，x2＋2x－3＝0或x0，－2＋lnx＝0，
　　解之可得x＝－3或x＝e2，
　　故零点个数为2.
　　答案：C
　　8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元 (不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费
　　()
　　A．1.00元 B．0.90元
　　C．1.20元 D．0.80元
　　解析：y＝0.2＋0.1([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x0)，令x＝55060，故[x]＝10，则y＝0.9.
　　答案：B
　　9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ()
　　A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
　　C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－12)
　　解析：令g(x)＝0，则4x＝－2x＋2.画出函数y1＝4x和函数y2＝－2x＋2的图像如图，可知g(x)的零点在区间(0,0.5)上，选项A的零点为0.25，选项B的零点为1，选项C的零点为0，选项D的零点大于1，故排除B、C、D.
　　答案：A
　　10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x )，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是 ()
　　解析：A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.
　　答案：C
　　二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
　　11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
　　解析：f(x)＝x3－2x－5，
　　f(2)＝－10，f(3)＝160，f(2.5)＝5.6250，
　　∵f(2)f(2.5)0，
　　下一个有根区间是(2,2.5)．
　　答案：(2,2.5)
　　12．已知mR时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．
　　解析：(1)当m＝0时，
　　由f(x)＝x－a＝0，
　　得x＝a，此时aR.
　　(2)当m0时，令f(x)＝0，
　　即mx2＋x－m－a＝0恒有解，
　　1＝1－4m(－m－a)0恒成立，
　　即4m2＋4am＋1 0恒成立，
　　则2＝(4a)2－440，
　　即－11.
　　所以对mR，函数f(x)恒有零点，有a[－1 ,1]．
　　答案：[－1,1]
　　13．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速 度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是________．
　　解析：从A地到B地，以60 km/h匀速行驶，x＝60t，耗时2.5个小时，停留一小时，x不变．从B地返回A地，匀速行驶，速度为50 km/h，耗时3小时，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325
　　所以x＝60t，02.5，150， 2.53.5，－50t＋325， 3.56.5.
　　答案 ：x＝60t，02.5150， 2.53.5－50t＋325 3.56.5
　　14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
　　高峰时间段用 电价格表
　　高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)
　　50及以下的部分 0.568
　　超过50至200的部分 0.598
　　超过200的部分 0.668
　　低谷时间段用电价格表
　　低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)
　　50及以下的部分 0.288
　　超过50至2 00的部分 0.318
　　超过200的部分 0.388
　　若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
　　解析：高峰时段电费a＝500.568＋(200－50)0.598＝118.1(元)．
　　低谷时段电费b＝500.288＋(100－50)0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．
　　答案：148.4
　　三、解答题(本大题共4小题，共50分)
　　15．(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝ 14x，N＝34x－1(x1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品 的资金投入分配应是多少？ 共能获得多大利润？
　　解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得利润
　　y＝M＋N＝14(8－x)＋34x－1.
　　令x－1＝t(07)，则x＝t2＋1，
　　y＝14(7－t2)＋34t＝－14(t－32)2＋3716.
　　故当t＝32时，可获最大利润3716万元．
　　此时，投入乙种商品的资金为134万元，
　　甲种商品的资金为194万元．
　　16．(12分)判断方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？
　　解：令f(x)＝2ln x＋x－4.
　　因为f(1)＝2ln 1＋1－4＝－30，f(e)＝2ln e＋e－4＝e －20，
　　所以f(1)f(e)0.
　　又函数f(x)在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，
　　所以函数f(x)在(1，e)内存在零点，即方程f(x)＝0在(1，e)内存在实数解．
　　由于函数f(x)＝2ln x＋x－4在定义域(0，＋)上为增函数，所以函数f(x)在(1，e)内只存在唯一的一个零点．
　　故方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．
　　17．(12分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：
　　f(t)＝t4＋22， 040，tZ，－t2＋52， 40100，tZ.
　　销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
　　g(t)＝－t3＋1123(0100，tZ)．
　　求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？
　　解：依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)＝f(t)g(t)
　　＝t4＋22－t3＋1123， 040，tZ，－t2＋52－t3＋1123， 40100，tZ.
　　(1)若040，tZ，则
　　F(t)＝(t4＋22)(－t3＋1123)
　　＝－112(t－12)2＋2 5003，
　　当t＝12时，F(t)max＝2 5003(元)
　　(2)若40100，tZ，则
　　F(t)＝(－t2＋52)(－t3＋1123)
　　＝16(t－108)2－83，
　　∵t＝108100，
　　F(t)在(40,100]上递减，
　　当t＝41时，F(t)max＝745.5.
　　∵2 5003745.5，
　　第12天的日销售额最高．
　　18．(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
　　x 16 20 24 28
　　y 42 30 18 6
　　(1)能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系？若能，写出函数解析式；
　　(2)设经营此商品的日销售利润为P(元)，求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值？最大值是多少？
　　解： (1)由已知数据作图如图，
　　观察x，y的关系，可大体看到y是x的一次函数，令
　　y＝kx＋b.当x＝16时，y＝42；x＝20时，y＝30.
　　得42＝16k＋b， ①30＝20k＋b， ②
　　由②－①得－12＝4k，
　　k＝－3，代入②得b＝90.
　　所以y＝－3x＋90，显然当x＝24时，y＝18；
　　当x＝28时，y＝6.
　　对照数据，可以看到y＝－3x＋90即为所求解析式；
　　(2)利润P＝(x－12)(－3x＋90)＝－3x2＋126x－1 080＝－3(x－21)2＋243.
　　∵二次函数开口向下，
　　当x＝21时，P最大为243.
　　即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．

第二篇高中函数:人教版高一数学函数与方程教学计划

　　1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
　　2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系;
　　3.函数方程思想的几种重要形式
　　(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。
　　(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;
　　(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要;
　　(4)函数f(x)=(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;
　　(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;
　　(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

第三篇高中函数:高一数学第一章函数及其表示教学计划

　　不论从事何种工作，如果要想做出高效、实效，务必先从自身的工作计划开始。有了计划，才不致于使自己思想迷茫。下文为您准备了高一数学第一章函数及其表示教学计划。
　　一、教材内容分析
　　函数是高中数学的重要内容，函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一。学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法(如数形结合、化归等)、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。
　　学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用;在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。
　　二、教学目标分析
　　根据《普通高中数学课程标准》(实验)和新课改的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订教学目标。
　　1.明确函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，通过具体的实例，了解简单的分段函数及其应用。
　　2.通过解决实际问题的过程，在实际情境中能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，发展学生思维能力。
　　3.通过一些实际生活应用，让学生感受到学习函数表示的必要性;通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想。
　　三、教学问题诊断分析
　　(1)初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法。因此，教学中应该多给出一些具体问题，让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的。
　　(2)分段函数大量存在，但比较繁琐。一方面，要加强用分段函数模型刻画实际问题的实践，另一方面，还可以通过动画模拟，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合。这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔。
　　四、本节课的教法特点以及预期效果分析
　　(一).本节课的教法特点
　　根据教学内容，结合学生的具体情况，我采用了学生自主探究和教师启发引导相结合的教学方式。在整个的教学过程中让学生尽可能地动手、动脑，调动学生积极性，充分地参与学习的全过程。倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，逐步培养学生能够利用函数来处理信息的能力。
　　(二).本节课预期效果
　　1.通过具体的实例，让学生体会函数三种表示法的优、缺点。
　　创造问题情景这种情景的创设以具体事例出发，印象深刻。所以在引入时先从函数的三要素入手，强调要素之一对应关系，然后给出三个具体实例：
　　(1) 炮弹发射时，距离地面的高度随时间变化的情况;
　　(2) 用图表的形式给出臭氧层空洞的面积与时间的关系;
　　(3) 恩格尔系数的变化情况。
　　指出每种对应分别以怎样的形式展现。引出函数的表示方法这一课题。因为我们这节课的重点是让学生在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的表示方法。会选择的前提是理解，这些完全靠学生的现实经验，让学生自己去发现各自的优劣。这为第一道例题打下基础。
　　例1通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，进一步理解函数概念。把问题交给学生，学生独立完成，并自己检查发现问题，加深学生对三种表示法的深刻理解。学生思考函数表示法的规定。注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表。
　　由于这个函数的图象由一些离散的点组成，与以前学习过的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线不同。通过本例，进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体.函数y=5x不同于函数y=5x (x∈{1，2，3，4，5｝)，前者的图象是(连续的)直线，而后者是5个离散的点。由此认识到：“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等。” 并明确：如何判断一个图形是否是函数图象方法?
　　2.让学生会根据不同的实例选择恰当的方法表示函数
　　例2用表格法表示了函数。要“对这三位运动员的成绩做一个分析”不太方便，因此需要改变函数表示的方法，选择图象法比较恰当。教学中，先不必直接把图象法告诉学生，可以让学生说说自己是如何分析的，选择了什么样的方法来表示这三个函数.通过比较各种不同的表示方法，达成共识：用图象法比较好。培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力。
　　学生经过观察、思考获得结论.比如总体水平(朱启南成绩好)、变化趋势(刘天佑的成绩在逐步提高)、与运动员的平均分的比较，等等。培养学生的观察能力、获取有用信息的能力。同时要求学生注意图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析成绩情况，加以比较。
　　3.通过具体的实例，了解分段函数及其表示
　　生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税税额等等。通过例3的教学，让学生了解分段函数及其表示。为了便于学生理解，给出了实际情况的模拟。可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的数学思想方法。

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