抛物线与x轴交点公式|6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为( )

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　　(一)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为( )

　　函数与一元二次方程

　　知识考点：

　　1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;

　　2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与

轴的交点情况;

 

　　3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。

 

　　精典例题：

　　【例1】已抛物线

( 为实数)。

 

　　(1)

为何值时，抛物线与 轴有两个交点?

 

　　(2)如果抛物线与

轴相交于A、B两点，与 轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

 

　　分析：抛物线与

轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根 应满足的条件。

 

　　略解：(1)由已知有

，解得 且

 

　　(2)由

得C(0，-1)

 

　　又∵

 

　　∴

 

　　∴

或

 

　　∴

或

 

　　【例2】已知抛物线

。

 

　　(1)求证：不论

为任何实数，抛物线与 轴有两个不同的交点，且这两个点都在 轴的正半轴上;

 

　　(2)设抛物线与

轴交于点A，与 轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求 的值。

 

　　(3)在(2)的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P?

　　解析：(1)

，由 ， 可得证。

 

　　(2)

 

　　=

 

　　

 

　　又∵

 

　　∴

 

　　解得

或 (舍去)

 

　　∴

 

　　(3)

，顶点(5，-9)，

 

　　∵

 

　　∴⊙M不经过抛物线的顶点P。

　　评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。

　　探索与创新：

　　

【问题】如图，抛物线 ，其中 、 、 分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边。

 

　　(1)求证：该抛物线与

轴必有两个交点;

 

　　(2)设有直线

与抛物线交于点E、F，与 轴交于点M，抛物线与 轴交于点N，若抛物线的对称轴为 ，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形;

 

　　(2)当

时，设抛物线与 轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与 轴相切的圆?若存在这样的圆，求出圆心的坐标;若不存在，请说明理由。

 

　　解析：(1)

 

　　∵

，

 

　　∴

 

　　(2)由

得

 

　　由

得：

 

　　设E(

， )，F( ， )，那么： ，

 

　　

由 ∶ =5∶1得：

 

　　∴

或

 

　　由

知 应舍去。

 

　　由

解得

 

　　∴

，即

 

　　∴

或 (舍去)

 

　　∴

 

　　∴△ABC是等边三角形。

　　(3)

，即

 

　　∴

或 (舍去)

 

　　∴

，此时抛物线 的对称轴是 ，与 轴的两交点坐标为P( ，0)，Q( ，0)

 

　　设过P、Q两点的圆与

轴的切点坐标为(0， )，由切割线定理有：

 

　　∴

 

　　故所求圆的圆心坐标为(2，-1)或(2，1)

　　评注：本题(1)(2)问与函数图像无关，而第(3)问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

　　跟踪训练：

　　一、选择题：

　　1、已知抛物线

与 轴两交点在 轴同侧，它们的距离的平方等于 ，则 的值为()

 

　　A、-2 B、12 C、24 D、-2或24

　　2、已知二次函数

( ≠0)与一次函数 ( ≠0)的图像交于点A(-2，4)，B(8，2)，如图所示，则能使 成立的 的取值范围是( )

 

　　A、

B、 C、 D、 或

 

　　

 

　　3、如图，抛物线

与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系：① ;② ;③ ;④ 其中正确的有()

 

　　A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

　　4、设函数

的图像如图所示，它与 轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则 的值为()

 

　　A、

或2 B、 C、1 D、2

 

　　二、填空题：

　　1、已知抛物线

与 轴交于两点A( ，0)，B( ，0)，且 ，则 = 。

 

　　2、抛物线

与 轴的两交点坐标分别是A( ，0)，B( ，0)，且 ，则 的值为 。

 

　　3、若抛物线

交 轴于A、B两点，交 轴于点C，且∠ACB=900，则 = 。

 

　　4、已知二次函数

与 轴交点的横坐标为 、 ，则对于下列结论：①当 时， ;②当 时， ;③方程 =0有两个不相等的实数根 、 ;④ ， ;⑤ ，其中所有正确的结论是 (只填写顺号)。

 

　　三、解答题：

　　1、已知二次函数

( ≠0)的图像过点E(2，3)，对称轴为 ，它的图像与 轴交于两点A( ，0)，B( ，0)，且 ， 。

 

　　(1)求这个二次函数的解析式;

　　(2)在(1)中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。

　　2、已知抛物线

与 轴交于点A( ，0)，B( ，0)两点，与 轴交于点C，且 ， ，若点A关于 轴的对称点是点D。

 

　　(1)求过点C、B、D的抛物线解析式;

　　(2)若P是(1)中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式;

　　3、已知抛物线

交 轴于点A( ，0)，B( ，0)两点，交 轴于点C，且 ， 。

 

　　(1)求抛物线的解析式;

　　(2)在

轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围;若不存在，请说明理由。

 

　　参考答案

　　一、选择题：CDBD

　　二、填空题：

　　1、2;2、

;3、3;4、①③④

 

　　三、解答题：

　　1、(1)

;(2)存在，P( ，-9)或( ，-9)

 

　　2、(1)

;(2)

 

　　3、(1)

;(2)当 时∠APB为锐角，当 或 时∠APB为钝角。

 

　　(二)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为( )

　　函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数

　　一、选择题

　　点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义.关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小.

　　2. (2011台湾，32，4分)如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，

　　22

　　判断方程31x-999x+89=0的两根，下列叙述何者正确( )

　　A.两根相异，且均为正根 C.两根相同，且为正根

　　B.两根相异，且只有一个正根 D.两根相同，且为负根

　　考点：抛物线与x轴的交点。 专题：综合题。

　　分析：由二次函数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案.

　　解答：解：∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，

　　∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根.

　　故选A.

　　点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根;抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根;抛物线与x轴无交点时，方程无实根.

　　3. .(2011?江西，6，3)已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则它与x轴的另一个交点坐标是( ) A、(1，0)

　　B、(2，0) C、(﹣2，0)

　　D、(﹣1，0)

　　考点：抛物线与x轴的交点。

　　分析：把交点坐标(1，0)，代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对

　　称轴，再利用公式x=x?

　　x1?x2

　　2

　　??

　　12

　　，可求出它与x轴的另一个交点坐标.

　　解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得： 0=1+b﹣2， ∴b=1， ∴对称轴为x??∴x?

　　x1?x2

　　2

　　??

　　b2a12??

　　12

　　，

　　，

　　∴x2=﹣2，

　　它与x轴的另一个交点坐标是(﹣2，0).

　　故选C. 点评：本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x?

　　x1?x2

　　2

　　??

　　12

　　。

　　4. (2011襄阳，12，3分)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A.k<4 B.k≤4 C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3 考点：抛物线与x轴的交点;根的判别式;一次函数的性质。 专题：计算题。

　　分析：分为两种情况：：①当k-3≠0时，(k-3)x+2x+1=0，求出△=b-4ac=-4k+16≥0的解集即可;②当k-3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点;即可得到答案.

　　解答：解：①当k-3≠0时，(k-3)x2+2x+1=0， △=b2-4ac=22-4(k-3)×1=-4k+16≥0， k≤4;

　　②当k-3=0时，y=2x+1，与x轴有交点. 故选B.

　　点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键.

　　5. (2011湖北孝感，12，3分)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为(

　　12

　　2

　　2

　　，1)，下列结论：①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④a+b+c<0.其中

　　正确结论的个数是( )

　　A.1 C.3

　　B.2 D.4

　　考点：二次函数图象与系数的关系。

　　专题：计算题。

　　分析：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性. 解答：解：根据图象可知： ①c<0，c>0 ∴ac<0，正确; ②∵顶点坐标横坐标等于

　　b2a

　　12

　　12

　　，

　　∴-=，

　　∴a+b=0正确;

　　③∵顶点坐标纵坐标为1， ∴4ac?b4a

　　2

　　=1;

　　∴4ac﹣b2=4a，正确;

　　④当x=1时，y=a+b+c>0，错误. 正确的有3个. 故选C.

　　点评：本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.

　　6. (2011广西崇左，18，3分)已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下

　　列结论中：①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是( )

　　A.①⑤

　　B.①②⑤ C.②⑤

　　D.①③④

　　考点：二次函数图象与系数的关系.

　　专题：数形结合.

　　分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a>0，

　　∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c<0，

　　b

　　∵对称轴为x???0，

　　2a

　　∴a 、b异号，即b<0，

　　又∵c<0，∴abc>0， 故本选项正确;

　　b

　　②∵对称轴为x???0，a>0，

　　2a

　　∴﹣b>2a， ∴2a+b>0;

　　故本选项错误;

　　③当x=1时，y1=a+b+c;

　　当x=m时，y2=m(am+b)+c，当m>1，y2>y1;当m<1，y2<y1，所以不能确定; 故本选项错误;

　　④当x=1时，a+b+c=0;

　　当x=﹣1时，a﹣b+c>0;

　　∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0，即(a+c)2﹣b2; ∴(a+c)2=b2 故本选项错误;

　　⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2; 当x=1时，a+b+c=0， ∴a+c=1，

　　∴a=1+(﹣c)>1，即a>1; 故本选项正确;

　　综上所述，正确的是①⑤. 故选A.

　　点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换;二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

　　(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0;否则a<0;

　　b

　　(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x??判断符号;

　　2a

　　(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0;否则c<0;

　　(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac>0;1个交点，b2

　　﹣4ac=0，没有交点，b﹣4ac<0.

　　7.(2011广西防城港 6，3分)已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1

　　经过的象限是( ) A.第一、二、三象限

　　B.第二、三、四象限

　　2

　　C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限

　　考点：二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系 专题：二次函数

　　分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a>0;一次函数y=kx+b(k≠0)的一次项系数k>0、b<0时，函数图象经过第一、三、四象限.

　　解答：D

　　点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系.二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号.

　　8.(2011湖北黄石，9,3分)设一元二次方程(x﹣1)(x﹣2)=m(m>0)的两实根分别为α，β，且α<β，则α，β满足( )

　　A.1<α<β<2 B.1<α<2<β C.α<1<β<2 D.α<1且β>2

　　考点：抛物线与x轴的交点;根与系数的关系。

　　专题：数形结合。

　　分析：先令m=0求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围. 解答：解：令m=0，

　　则函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点分别为(1，0)，(2，0)， 故此函数的图象为：

　　∵m>0，

　　∴α<1，β>2.

　　故选D.

　　点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键.

　　9.(2011?黔南，9，4)分二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=( )

　　A、1

　　B、﹣1

　　C、﹣2 D、0

　　考点：抛物线与x轴的交点。 专题：数形结合。

　　分析：先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值.

　　解答：解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得， ﹣9+6+k=0，解得k=3，

　　∴原方程可化为：﹣x+2x+3=0， ∴x1+x2=3+x2=﹣故选B.

　　2?1

　　2

　　=2，解得x2=﹣1.

　　(三)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为( )

　　知识考点：

　　1、掌握一次函数的概念及图像;

　　2、掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题;

　　3、会用待定系数法求一次函数的解析式。

　　精典例题：

　　【例1】已知直线

( ≠0)与 轴的交点在 轴的正半轴上，下列结论：① >0， >0;② >0， <0;③ <0， >0;④ <0， <0，其中正确结论的个数为()

 

　　A、1 B、2 C、3 D、4

　　解：根据题意知，直线

( ≠0)的图像可以如图1，这时 >0， <0;也可以如图2，这时 <0， >0。故选B。

 

　　

 

　　评注：本题关键是掌握一次函数

中的系数 、 与图像性质之间的关系。

 

　　【例2】一直线与

轴相交于点A(0，-2)，与 轴相交于点B，且tan∠OAB= ，求这条直线的解析式。

 

　　分析：欲求直线的解析式，需要两个独立的条件建立关于

、 的方程组，结合题目条件，本题要分两种情况讨论，如上图所示。

 

　　答案：

或

 

　　【例3】如下图，已知直线

与 交于点P(1，4)，它们分别与 轴交于A、B，PA=PB，PB= 。

 

　　(1)求两个函数的解析式;

　　(2)若BP交

轴于点C，求四边形PCOA的面积。

 

　　解析：

　　(1)作PH⊥AO，则PH=4，OH=1，BH=

 

　　∴B(-1，0)。设A(

，0)，则AH= ，AP=AB= ， ，解得 。∴A(4，0)，故直线PB： ;直线AP： 。

 

　　(2)

 

　　评注：灵活运用勾股定理等几何知识求线段长，进而求点的坐标，是解函数题的常用方法。

　　

 

　　探索与创新：

　　【问题一】如上图，已知直线

与 轴、 轴分别交于点A、B，另一直线 ( ≠0)经过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分。

 

　　(1)若△AOB被分成的两部分面积相等，求经过C的直线解析式;

　　(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求经过C的直线解析式。

　　解析：(1)如上图，过B(0，2)，C(1，0)的直线解析式为

;

 

　　(2)设

与OB交于M(0， )，分△AOB面积为1∶5得：

 

　　

，则

 

　　解得

，所以M(0， )

 

　　经过点M作直线MN∥OA交AB于N(

， )，则 ，因N( ， )在直线 上，所以 ，故N( ， )

 

　　∴直线CM：

，直线CN：

 

　　评注：本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。

　　【问题二】某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，(1微克=10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量

(微克)随时间 (小时)的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：

 

　　(1)分别求出

≤2和 ≥2时 与 之间的函数关系式;

 

　　

(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间是多长?

 

　　解析：(1)设

≤2时， ，把坐标(2，6)代入得： ;设 ≥2时， ，把坐标(2，6)，(10，3)代入得： 。

 

　　(2)把

代入 与 中得： ， ，则 (小时)，因此这个有效时间为6小时。

 

　　评注：本题是一道一次函数与医药学综合的题目，解题的关键是要将函数图像抽象成解析式，然后结合函数的知识求解。本题趣味性强，能从中了解医药的一些知识。

　　跟踪训练：

　　一、选择题：

　　1、若函数

与 的图像交于 轴上一点A，且与 轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积积为()

 

　　A、6 B、

C、 D、2

 

　　2、已知M(3，2)，N(1，-1)，点P在

轴上，且PM+PN最短，则点P的坐标是( )

 

　　A、(0，

) B、(0，0) C、(0， ) D、(0， )

 

　　3、若一次函数

的图像不经过第二象限，则 的取值范围是()

 

　　A、

< B、0< < C、0≤ < D、 <0或 >

 

　　4、直线

经过点A(-1， )与点B( ，1)，其中 >1，则必有( )

 

　　A、

>0， >0 B、 >0， <0

 

　　C、

<0， >0 D、 <0， <0

 

　　5、小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜后余下的每千克降价0.40元，全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小李赚()

　　A、32元 B、36元 C、38元 D、44元

　　二、填空题：

　　1、若

，则直线 一定经过第 象限。

 

　　2、一次函数

的图像经过点A(0，1)，B(3，0)，若将该图像沿着 轴向左平移4个单位，则此图像沿 轴向下平移了 单位。

 

　　3、如图，已知直线PA：

交 轴于Q，直线PB： 。若四边形PQOB的面积为 ，则 = 。

 

　　

 

　　4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，一段时间风速保持不变，。当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止。结合风速与时间的图像填空：

　　①在

轴( )内填入相应的数值;

 

　　②沙尘暴从发生到结束共经过 小时;

　　③当

≥25时，风速 (千米/小时)与时间 (小时)之间的函数关系式是 。

 

　　三、解答题：

　　1、一位投资者有两种选择：①中国银行发行五年期国债，年利率为2.63%。②中国人寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险―鸿泰分红保险，投资者一次性交保费10000元(10份)，保险期为5年，5年后可得本息和10486.60元，一般还可再分得一些红利，，但分红的金额不固定，有时可能多，有时可能少。

　　(1)写出购买国债的金额

(元)与5年后银行支付的本息和 (元)的函数关系式;

 

　　(2)求鸿泰分红保险的年利率，并写出支付保费

(元)与5年后保险公司还付的本息和 (元)的函数关系式(红利除外);

 

　　(3)请你帮助投资者分析两种投资的利弊。

　　2、如图，已知一次函数

的图像与 轴、 轴分别交于A、B两点，点C、D都在 轴的正半轴上，D点坐标为(2，0)，若两钝角∠ABD=∠BCD。

 

　　(1)求直线BC的解析式;

　　(2)若P是直线BD上一点，且

，求P点坐标。

 

　　

 

　　3、如图，直线

分别交 轴、 轴于A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥ 轴于B， 。

 

　　(1)求点P的坐标;

　　(2)设点R与点P在同一反比例函数的图像上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥

轴于T，当以B、R、T为顶点的三角形与△AOC相似时，求点R的坐标。

 

　　4、如图，直线

与 轴、 轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA、OB的长是方程 的两个根(OB>OA)，P为直线 上A、B两点之间的一动点(不与A、B重合)，PQ∥OB交OA于点Q。

 

　　(1)求tan∠BAO的值;

　　(2)若

时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长。

 

　　(3)在

轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形。若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

 

　　参考答案

　　一、选择题：ADCCB

　　二、填空题：

　　1、二、三象限;2、

;3、2;4、①8，32;②57;③ (25≤ ≤57)

 

　　三、解答题：

　　1、(1)

;(2) ;

 

　　(3)各有利有弊，当保险分红大于828.40元时，买保险有利，但分红只是预测，不能保证。

　　2、(1)

;(2)P(1， )或(3， )

 

　　3、(1)P(2，3);(2)B(3，2)或(

， )

 

　　4、(1)tan∠BAO=

;(2)PQ=4;(3)存在，M(0，0)或(0， )或(0， )

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