[数列极限的定义]数列的极限

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数列的极限一:高数之数列极限的方法总结

　　高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。下面小编为大家整理了高数之数列极限的方法总结，希望对考研的朋友们有所帮助。
　　极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
　　极限无外乎出这三个题型：
　　求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键， 极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。
　　极限的计算常用方法：
　　四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
　　四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
　　与极限计算相关知识点包括：
　　1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；
　　2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验 存在的定义是极限 存在；
　　3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；
　　4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
　　下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
　　重要题型及点拨
　　1、求数列极限
　　求数列极限可以归纳为以下三种形式。
　　★抽象数列求极限
　　这类题一般以选择题的形式出现， 因此可以通过举反例来排除。 此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
　　★求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
　　a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。
　　首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程， 从而得到数列的极限值。
　　b、利用函数极限求数列极限
　　如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
　　★求n项和或n项积数列的极限，主要有以下几种方法：
　　a、利用特殊级数求和法
　　如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
　　b、利用幂级数求和法
　　若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
　　c、利用定积分定义求极限
　　若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示， 则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
　　d、利用夹逼定理求极限
　　若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
　　e、求n项数列的积的极限，一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

数列的极限二:求极限的16个方法总结

　　假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。下面小编为大家搜索整理了求极限的16个方法总结。
　　首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
　　1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。
　　2、解决极限的方法如下
　　1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小)
　　2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)
　　首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
　　洛必达法则分为三种情况
　　1)0比0无穷比无穷时候直接用
　　2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了
　　3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方
　　对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)
　　3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e的x展开sina展开cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助
　　4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。
　　5、无穷小于有界函数的处理办法
　　面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!
　　6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
　　7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)
　　8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。
　　9、求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化。
　　10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第二个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用第二个重要极限)
　　11、还有个方法，非常方便的方法。就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的。
　　x的x次方快于x!快于指数函数快于幂数函数快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)。当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了
　　12、换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中
　　13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
　　14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
　　15、单调有界的性质。对付递推数列时候使用证明单调性。
　　16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x)加减某个值)加减f(x)的形式，看见了有特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义!)

数列的极限三:数分求极限的方法总结

　　解决极限的方法有那些？各位都知道，求数的极限一直是我们的难点，所以为大家带来了数分求极限的方法。
　　数分求极限的方法总结
　　1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
　　2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
　　3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
　　4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！
　　5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
　　6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
　　7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。
　　8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。
　　9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
　　10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）
　　11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
　　12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
　　13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
　　14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
　　15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！
　　16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！
　　函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：
　　1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）；
　　2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致；
　　3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系；
　　4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点；第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）。

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