高中一元二次函数_高中一元二次不等式及其解法

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含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c<0(a不等于0)其中ax²+bx+c是实数域内的二次 三项式。小学生作文网www.zzxu.cn 小编精心为大家整理了高中一元二次不等式及其解法，希望对你有帮助。

　　第一篇：高中一元二次不等式及其解法

　　1.下列不等式的解集是∅的为(　　)

　　A.x2+2x+1≤0　　　　　　　　 B.x2≤0

　　C.(12)x-1<0 D.1x-3>1x

　　答案：D

　　2.若x2-2ax+2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

　　A.(-2，2] B.(-2，2)

　　C.[-2，2) D.[-2，2]

　　解析：选D.Δ=(-2a)2-4×1×2≤0，∴-2≤a≤2.

　　3.方程x2+(m-3)x+m=0有两个实根，则实数m的取值范围是________.

　　解析：由Δ=(m-3)2-4m≥0可得.

　　答案：m≤1或m≥9

　　4.若函数y=kx2-6kx+k+8的定义域是R，求实数k的取值范围.

　　解：①当k=0时，kx2-6kx+k+8=8满足条件;

　　②当k>0时，必有Δ=(-6k)2-4k(k+8)≤0，

　　解得0<k≤1.综上，0≤k≤1.

　　一、选择题

　　1.已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是R，则(　　)

　　A.a<0，Δ>0 B.a<0，Δ<0

　　C.a>0，Δ<0 D.a>0，Δ>0

　　答案：B

　　2.不等式x2x+1<0的解集为(　　)

　　A.(-1,0)∪(0，+∞) B.(-∞，-1)∪(0,1)

　　C.(-1,0) D.(-∞，-1)

　　答案：D

　　3.不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2}，则二次函数y=2x2+mx+n的表达式是(　　)

　　A.y=2x2+2x+12　　　　　　　 B.y=2x2-2x+12

　　C.y=2x2+2x-12 D.y=2x2-2x-12

　　解析：选D.由题意知-2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得-2+3=-m2，-2×3=n2.∴m=-2，n=-12.因此二次函数的表达式是y=2x2-2x-12，故选D.

　　4.已知集合P={0，m}，Q={x|2x2-5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于(　　)

　　A.1 B.2

　　C.1或25 D.1或2X k b 1 . c o m

　　解析：选D.∵Q={x|0<x<52，x∈Z}={1,2}，∴m=1或2.

　　5.如果A={x|ax2-ax+1<0}=∅，则实数a的集合为(　　)

　　A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}

　　C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

　　解析：选D.当a=0时，有1<0，故A=∅.当a≠0时，若A=∅，

　　则有a>0Δ=a2-4a≤0⇒0<a≤4.

　　综上，a∈{a|0≤a≤4}.

　　6.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x-0.1x2(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)

　　A.100台 B.120台

　　C.150台 D.180台

　　解析：选C.3000+20x-0.1x2≤25x⇔x2+50x-30000≥0，解得x≤-200(舍去)或x≥150.

　　二、填空题

　　7.不等式x2+mx+m2>0恒成立的条件是________.

　　解析：x2+mx+m2>0恒成立，等价于Δ<0，

　　即m2-4×m2<0⇔0<m<2.

　　答案：0<m<2

　　8.(2010年高考上海卷)不等式2-xx+4>0的解集是________.

　　解析：不等式2-xx+4>0等价于(x-2)(x+4)<0，∴-4<x<2.

　　答案：(-4,2)

　　9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s=12t2-2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________.

　　解析：依题意有12t2-2t>30，

　　解得t>10或t<-6(舍去).

　　答案：t>10

　　三、解答题

　　10.解关于x的不等式(lgx)2-lgx-2>0.

　　解：y=lgx的定义域为{x|x>0}.

　　又∵(lgx)2-lgx-2>0可化为(lgx+1)(lgx-2)>0，

　　∴lgx>2或lgx<-1，解得x<110或x>100.

　　∴原不等式的解集为{x|0<x<110或x>100}.

　　11.已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围.

　　解：当a=0时，

　　不等式为-x-1<0⇔x>-1不恒成立.

　　当a≠0时，不等式恒成立，则有a<0，Δ<0，

　　即a<0a-12-4aa-1<0

　　⇔a<03a+1a-1>0

　　⇔a<0a<-13或a>1⇔a<-13.

　　即a的取值范围是(-∞，-13).

　　12.某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内?

　　解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20-52t)万亩.则税收收入为(20-52t)×24000×t%.

　　由题意(20-52t)×24000×t%≥9000，

　　整理得t2-8t+15≤0，解得3≤t≤5.

　　∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.

　　第二篇：高中一元二次不等式及其解法

　　含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c<0(a不等于0)其中ax²+bx+c是实数域内的二次 三项式。

　　解法一

　　当 △=b²-4ac≥0时，

　　一元二次方程ax²+bx+c=0　有两个 实根，那么ax²+bx+c可 分解为如a(x-x1)(x-x2)的形式。

　　这样，解一元二次不等式就可归结为解两个 一元一次不等式组。一元二次不等式的 解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。

　　举例：

　　试解一元二次不等式

　　解法

　　一元二次不等式也可通过一元 二次函数图象进行求解。

　　通过看 图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

　　求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，可将 一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用 图象法进行 解题，使得问题简化。

　　解法

　　数轴穿根 ：用 穿根法解高次不等式时，就是先把 不等式一端化为零，再对另一端 分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在 数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，这 大于 零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值 集合，小于零的这相反。这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。”

　　●做法:

　　1.把二次项系数变成正的(不用是1,但是 得出者为 正解);

　　2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;

　　3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过

　　(即遇到含X的项是奇次 幂就穿过,偶次幂就跨过。后文有详细介绍);

　　4.注意看看题中 不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使不等式为0的根。

　　●例如不等式: x²-3x+2≤0(最高次项 系数一定要为正，不为正要化成正的)

　　⒈ 分解因式:(x-1)(x-2)≤0;

　　⒉找 方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;

　　⒊画 数轴,并把根所在的 点标上去;

　　⒋注意，此时从最右端 开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左 绘制,类似于 抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;

　　⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需在数轴上观察哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。[1]

　　●高次不等式亦如此。例如一个分解因式后所得之不等式：

　　x(x+2)(x-1)(x-3)>0

　　照例，先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根：

　　x=0，x=1，x=-2，x=3

　　在 数轴上依次标出这些 点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的 抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。

　　方程中要求的是>0，

　　只需观察曲线在数轴上方的部分所取的x的范围即可。

　　x<-2或0<x<1或x>3。

　　●⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在 数轴上把这个根的位置标出来;

　　⑵“奇过偶不过”中的“奇、偶”指的是 分解因式后,某个因数的指数是奇数或者 偶数;

　　比如对于不等式(X-2)²·(X-3)>0

　　(X-2)的指数是2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点，

　　而(X-3)的指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。

　　(3)分子中一定都是能够 因式分解成一次式的 因式，否则不能用此方法。 [1]

　　2判别方法编辑

　　当 a>0 时：

　　判别式 △(b²-4ac)>0时，ax²+bx+c=0有两个不 相等的根(设x10的 解集是：

　　x<x1

　　或

　　x>x2

　　判别式 △(b²-4ac)=0时，因为a>0， 二次函数图象抛物线的开口向上，抛物线与x轴有一个交点，则x1=x2，所以不等式ax²+bx+c>0的解集是x≠x1的 全体实数，而不等式ax²+bx+c<0的解集是 空集。

　　判别式 △(b²-4ac)<0时，抛物线在x轴的上方与x轴没有交点。所以不等式ax²+bx+c>0的 解集是全体实数，而不等式ax²+bx+c<0的解是空集。( 无解)

　　当 a<0 时：

　　判别式 △(b²-4ac)>0时，ax²+bx+c=0有两个不相等的根(设x1<x2)。二次函数图象 抛物线的开口向下，抛物线与x轴有两个 交点，所以不等式ax²+bx+c>0的解集是：x1<x<x2

　　判别式 △(b²-4ac)=0时，因为a<0，二次函数图象抛物线的开口向下，抛物线与 横轴有一个交点，则x1=x2，所以不等式ax²+bx+c<0的解集是x≠x1的 全体实数，而 不等式ax²+bx+c>0的解集是空集。

　　判别式 △(b²-4ac)<0时， 抛物线在x轴的下方与x轴没有交点。所以不等式ax²+bx+c<0的解集是全体实数，而不等式ax²+bx+c>0的解是 空集。( 无解) [1]

　　第三篇：高中一元二次不等式及其解法

　　甲，乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇， 弯道限制车速在40km/h以内，由于突发情况，两 车相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距离接近但 未超过12m，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又 知这两辆车的刹车距s与车速x(km/h)之间分别 有以下函数关系： ?S

　　甲 0.01 x 2 ? 0.1x

　　?

　　?

　　S乙 ? 0.005x2 ? 0.05x

　　谁的车速超过了40km/h，谁就违章了。 ? 试问：哪一辆车违章行驶?

　　分析问题

　　?

　　由题意，只需分别解出不等式 2 和 0.01x ? 0.1x ? 12 ，确认甲，乙两车的 0.005x 2 ? 0.05x ? 10 行驶速度，就可以判断哪一辆车违章 超速行驶。

　　考察引例中含未知数x的不等式：

　　0.01x2+0.1x ≤12和 0.005x2+0.05x>10. 这两个不等式有两个共同特点： (1)含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2. 一般地，含有一个未知数，且未知

　　数的最高次数为2的整式不等式，叫做一

　　元二次不等式。

　　一元二次不等式的一般表达式为

　　ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0) 其中a，b，c均为常数。 一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式， 即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，

　　在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题：

　　对二次函数f(x)=x2-x-2，

　　y

　　当x为何值时，f(x)=0?

　　当x为何值时，f(x)<0?

　　-1 o 2 x

　　当x为何值时，f(x)>0?

　　当x=-1或2时，f(x)=0 当-1<x<2时，f(x)<0 当x<-1或x>2时，f(x)>0

　　下面我们通过实例，研究一元二次不等 式的解法，以及它与相应的方程、函数之 间的关系。 例如解不等式： (1)x2-x-6>0;(2)x2-x-6<0.

　　我们来考察二次函数f(x)=x2-x-6的 图象和性质。

　　方程x2-x-6=0的判别式 ? ? 1 ? 4 ?1? (?6) ? 25 ? 0

　　于是可知这个方程有两个不相等的实数根,

　　解此方程得x1=-2，x2=3. 建立直角坐标系xOy，画出 f(x)的图象，它是一条开口向 上的抛物线，与x轴的交点是

　　-2 -1 O -1 -2 -3 y 3 2 1 1 2 3 x

　　M(-2，0)，N(3，0)，

　　1 25 ( ,) 2 4

　　观察这个图象，可以看出，抛物线位于x 轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点 的横坐标的集合

　　y

　　A={x| x<-2或x>3}是一元二

　　次不等式x2-x-6>0的解集。 抛物线位于x轴下方的点 的纵坐标小于零，因此这些 点的横坐标的集合B={x| - 2<x<3}是一元二次不等式x2 -x-6<0的解集。

　　-2 -1 O

　　3 2 1 1 -1 -2 -3 2 3 x

　　1 25 ( ,) 2 4

　　例1 解不等式 2x2-3x-2>0.

　　解：方程2x2-3x-2=0的解是

　　1 图象与x轴的交点坐标为：(? ,0), (2,0) 2 2 函数y=2x -3x-2的图象为： 由函数的图象可知

　　1 x1 ? ? , x2 ? 2 2

　　不等式2x2-3x-2>0.的解集为：

　　? ? 1 ? x x ? ? , 或x ? 2? 2 ? ?

　　由上述讨论及例题，可归纳出用图象法解一 元二次不等式的程序如下： 1.将不等式化为标准形式：

　　ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0

　　2.解出相应的方程的根。

　　3.确定相应函数图象与x轴交点坐标。

　　4.画出相应函数图象，根据图象确定所求不等

　　式的解集。

　　例2.解不等式x2+4x+4>0. 2 解：方程 x ? 4 x ? 4 ? 0 △=42-4×1×4=0，

　　有两个相等的实数解 x1 ? x2 ? ?2，

　　函数 y ? x ? 4x ? 4 的图像是开口向上 的抛物线，与x轴只有一个交点

　　2

　　(-2，0)，所以不等式的解集是 {x| x≠-2}.

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