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1.准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为(
A.y2=﹣8x B.y2=8x C.x2=8y D.x2=﹣8y
2.设x∈R，则x>e的一个必要不充分条件是( )
A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
3.不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ，则实数a，b的值为( )
A.a=﹣8，b=﹣10 B.a=﹣1，b=9 C.a=﹣4，b=﹣9 D.a=﹣1，b=2
4.已知函数f(x)=(x﹣3)ex，则f′(0)=( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.4
5.首 项a1>0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得最大值时n的值为( )
A.7 B.8或9 C.8 D.10
6.椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=( )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
8.下列命题为真命题的是( )
A.已知x，y∈R，则 是 的充要条件
B.当0<x≤2时，函数y=x﹣ 无最大值
C.∀a，b∈R， D.∃x∈R，sinx+cosx=
9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则下列关系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2
10.已知函数f(x)=(1﹣ )ex，若同时满足条件：
①∃x0∈(0，+∞)，x0为f(x)的一个极大值点;
②∀x∈(8，+∞)，f(x)>0.
则实数a的取值范围是( )
A.(4，8] B.[8，+∞) C.(﹣∞，0)∪[8，+∞) D.(﹣∞，0)∪(4，8]
二、填空题(共5小题，每小题5分，满分25分)
11.命题“∀x∈N，x2≠x”的否定是 .
12.在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，则∠C的大小为 .
13.曲线f(x)=xsin x在点( ， )处的切线方程是 .
14.已知函数f(x)的定义域为[ 1，+∞)，且f(2)=f(4)=1，f′(x)是f(x)的导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示，则不等式组 所表示的平面区域的面积是 .
15.以下几个命题中：其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)
①设A，B为两个定点，k为非零常数，| |﹣| |=k，则动点P的轨迹为双曲线;
②平面内，到定点(2，1)的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线;<
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点;
④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0<a<3.
2015-2016山东淄博高青县高二上期末数学试卷(二)
一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分)
1.准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为( )
A.y2=﹣8x B.y2=8x C.x2=8y D.x2=﹣8y
【考点】抛物线的标准方程.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案.
【解答】解：由题意可知： =2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上
故可设抛物线的标准方程为：y2=2px
将p代入可得y2=8x
故选：B.
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力.属基础题.
2.设x∈R，则x>e的一个必要不充分条件是( )
A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3
【考点】必要条件.
【专题】规律型.
【分析】根据必要不充分的定义即可得到结论.
【解答】解：当x>1时，满足条件.
x<1是x>e的既不必要也不充分条件.
x>3是x>e的充分不必要条件.
x<3是x>e的既不必要也不充分条件.
故选：A.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用定义是解决本题的关键，比较基础.
3.不等式ax 2+bx﹣2≥0的解集为 ，则实数a，b的值为( )
A.a=﹣8，b=﹣10 B.a=﹣1，b=9 C.a=﹣4，b=﹣9 D.a=﹣1，b=2
【考点】一元二次不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ，可得 解出即可.
【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ，
∴ 解得a=﹣4，b=﹣9.
故选：C.
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
4.已知函数f(x)=(x﹣3)ex，则f′(0)=( )
A.2 B.﹣2 C.3 D. 4
【考点】导数的运算.
【专题】导数的综合应用.
【分析】根据函数的导数公式直接进行求导，然后即可求f'(0)的值.
【解答】解：∵f(x)=(x﹣3)ex，
∴f'(x)=ex+(x﹣3)ex=(x﹣2)ex，
∴f'(0)=(0﹣2)e0=﹣2，
故选：B.
【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础.
5.首项a1>0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得最大值时n的值为( )
A.7 B.8或9 C.8 D.10
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出a1=﹣8d，再结合题设条件推导出Sn= ，由此利用二次函数的对称性能求出结果.
【解答】解：∵首项a1>0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=S12，
∴ ，
解得a1=﹣8d，
∵a1>0，
∴d<0，
∴ = ，
∵d<0，
∴Sn是一个关于n的开口向下的抛物线，
∵S5=S12，
∴由二次函数的对称性知：
当 ，即n=8或n=9时，Sn取得最大值.
故选B.
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，解题时要注意二次函数性质的合理运用，是中档题.
6.椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. 或 D. 或 【考点】椭圆的简单性质.
【专题】分类讨论;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得tan30°= ，或tan60°= ，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值.
【解答】解：由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，
是一个含60°角的菱形的四个顶点，
则tan30°= ，或tan60°= ，
当 = 时，即b= c，即有a= =2c，
由e= = ;
当 = 时，即b= c，即有a= = c，
由e= = .
可得离心率为 或 .
故选：C.
【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键.
7.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=( )
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
【考点】等比数列的性质;对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5答案可得.
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质.
8.下列命 题为真命题的是( )
A.已知x，y∈R，则 是 的充要条件
B.当0<x≤2时，函数y=x﹣ 无最大值
C.∀a，b∈R， D.∃x∈R，sinx+cosx= 【考点】特称命题.
【专题】证明题;整体思想;综合法;简易逻辑.
【分析】A利用充分条件和必要条件的定义进行判断
B利用函数的单调性进行判断
C根据基本不等式成立的条件进行判断
D根据三角函数的有界性进行判断
【解答】解：A.当x=4，y=1，满足 ，但 不成立，即 不是 的充要条件，故A错误，
B.当0<x≤2时，函数y=x﹣ 为增函数，则当x=2时，函数取得最大值，故B错误，
C.当a，b<0 时， 不成立，故C错误，
D.sinx+cosx= sin(x+ )∈[﹣ ， ]，
∵ ∈[﹣ ， ]，∴∃x∈R，sinx+cosx= ，故D正确，
故选：D
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，函数单调性，基本不等式以及三角函数的真假判断，知识点较多，综合性较强，但难度不大.
9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则下列关系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2
【考点】余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断.
【解答】解：∵b2+c2﹣a2= bc，
∴cosA= = ，
∴A=30°，
由正弦定理化简b= a，得到sinB= sinA= ，
∴B=60°或120°，
当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，
得到a2+b2=c2，2a=c;
当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，
得到a=c，
综上，b=c不一定成立，
故选：B.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键.
10.已知函数f(x)=(1﹣ )ex，若同时满足条件：
①∃x0∈(0，+∞)，x0为f(x)的一个极大值点;
②∀x∈(8，+∞)，f(x)>0.
则实数a的取值范围是( )
A.(4，8] B.[8，+∞) C.(﹣∞，0)∪[8，+∞) D.(﹣∞，0)∪(4，8]
【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值.
【专题】导数的综合应用.
【分析】求导数，由①得到 ;
由②∀x∈(8，+∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8，+∞)上的最小值大于0即可，
分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4<a≤8.
【解答】解：由于 ，则 = 令f′(x)=0，则 ， 故函数f(x)在(﹣∞，x1)，(x2，+∞)上递增，在(x1，x2)上递减
由于∀x∈(8，+∞)，f(x)>0，故只需f(x)在(8，+∞)上的最小值大于0即可，
当x2>8，即 时，函数f(x)在(8，+∞)上的最小值为 ，此时无解;
当x2≤8，即 时，函数f(x)在(8，+∞)上的最小值为 ，解得a≤8.
又由∃x0∈(0，+∞)，x0为f(x)的一个极大值点，故 解得a>4;
故实数a的取值范围为4<a≤8
故答案为 A
【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题.
2015-2016山东淄博高青县高二上期末数学试卷(三)
命题“∀x∈N，x2≠x”的否定是 ∃x∈N，x2=x .
【考点】命题的否定.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题的否定是：∃x∈N，x2=x.
故答案为：∃x∈N，x2=x.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.
12.在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，则∠C的大小为 .
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;数形结合法;解三角形.
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ，由大边对大角可得0<B< ，即可解得B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值.
【解答】解：∵BC=3，∠A= ，AC= ，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵AC<BC，由大边对大角可得：0<B< ，
∴B= ，
∴C=π﹣A﹣B= .
故答案为： .
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，求B的值是解题的关键，属于中档题.
13.曲线f(x)=xsin x在点( ， )处的切线方程是 x﹣y=0 .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】导数的概念及应用.
【分析】求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，可得切线方程.
【解答】解：∵f(x)=xsinx，
∴f′(x)=sinx+xcosx，
∴f′( )=1，
∵f( )= ，
∴曲线f(x)=xsin x在点( ， )处的切线方程是y﹣ =x﹣ ，即x﹣y=0.
故答案为：x﹣y=0.
【点评】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题.
14.已知函数f(x)的定义域为[1，+∞)，且f(2)=f(4)=1，f′(x)是f(x)的导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示，则不等式组 所表示的平面区域的面积是 3 .
【考点】简单线性规划的应用.
【专题】数形结合;不等式的解法及应用.
【分析】根据函数图象，确定f(x)在[1，3)上是减函数，在[3，+∞)上是增函数，结合f(2)=f(4)=1，可得一个关于x，y的二元一次不等式组，画出满足条件的可行域，根据平面图形，由面积公式可得答案.
【解答】解：由图可知，f(x)在[1，3)上是减函数，在[3，+∞)上是增函数，
又f(2)=f(4)=1，f(2x+y)≤1，
所以2≤2x+y≤4，
从而不等式组为 ，作出可行域如图所示，
其面积为S=×2×4﹣×1×2=3.
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，函数的图象与性质，平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解.
15.以下几个命题中：其中真命题的序号为 ③④ (写出所有真命题的序号)
①设A，B为两个定点，k为非零常数，| |﹣| |=k，则动点P的轨迹为双曲线;
②平面内，到定点(2，1)的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线;<
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点;
④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0<a<3.
【考点】曲线与方程.
【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】①根据双曲线的定义知①不正确;
②说明点(2，1)在直线3x+4y﹣10=0上，不满足抛物线的定义;
③双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1大于0，即可判定;
④求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，即可判定.
【解答】解：①平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，当0<k<|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴①不正确;
②在平面内，点(2，1)在直线3x+4y﹣10=0上，
∴到定点(2，1)的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线，∴②不正确;
③双曲线 与椭圆 的焦点都是(± ，0)，有相同的焦点，正确;
④正确方程2x2﹣5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则 ，∴0<a<3，正确;
故答案为：③④.
【点评】本题通过命题真假的判定考查椭圆、双曲线抛物线的定义 、性质和曲线的方程与方程的曲线等问题，是综合题目.
三、解答题(共6小题，满分75分)
16.已知命题p：∃x0∈R，使得 成立;命题q：函数y=loga(x+1)在区间(0，+∞)上为减函数;
(1)若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围;
(2)若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【 专题】简易逻辑.
【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断.
【解答】解：(1)∵命题p：∃x0∈R，使得 成立
∴￢p：∀x∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立
∴①a≥0时 ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立
②由 得a≤﹣1
(2)∵命题q：函数y=loga(x+1)在区间(0，+∞)上为减函数
∴命题q为真，实数a的取值范围是：0<a<1
∵命题“p或q”为真，且“p且q”为假，
∴命题p、q一真一假
①当p真q假时，则 ，得实数a的取值范围，﹣1<a≤0或a≥1
②当p假q真时，则 ，实数a的取值范围：无解
∴实数a的取值范围是﹣1<a≤0或a≥1
【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目
17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列.
(Ⅰ)若 ，B=60°，求a，b，c的值;
(Ⅱ)求角B的取值范围.
【考点】等比数列的性质;余弦定理.
【专题】综合题;等差数列与等比数列;解三角形.
【分析】(Ⅰ)利用等比数列的性质，可得b2=ac，再结合余弦定理，即可求a，b，c的值;
(Ⅱ)利用余弦定理，结合基本不等 式，即可求角B的取值范围.
【解答】解：(Ⅰ)∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
∵B=60°
∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
联立方程组 ，
解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(Ⅱ) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣( 8分)
∵a2+c2≥2ac，∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
∴0°<B≤60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
【点评】本题考查等比数列的性质，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键.
18.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= .
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.
【考点】椭圆的应用.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】解：(Ⅰ)由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3， ，由此可求出椭圆C的方程.
(Ⅱ)解法一：设A，B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2).设直线l的方程为y=k(x+2)+1，代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.因为A，B关于点M对称.所以 .解得 ，由此可求出直线l的方程.
(Ⅱ)解法二：设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).由题意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 .③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率为 ，由此可求出直线l的方程.
【解答】解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3.
在Rt△PF1F2中， ，
故椭圆的半焦距c= ，
从而b2=a2﹣c2=4，
所以椭圆C的方程为 =1.
(Ⅱ)解法一：
设A，B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2).
已知圆的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=5，
所以圆心M的坐标为(﹣2，1).
从而可设直线l的方程为
y=k(x+2)+1，
代入椭圆C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k﹣27=0.
因为A，B关于点M对称.
所以 .
解得 ，
所以直线l的方程为 ，
即8x﹣9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意)
(Ⅱ)解法二：
已知圆的方程为(x+2)2+(y﹣1)2=5，
所以圆心M的坐标为(﹣2，1).
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
由题意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 .③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
代入③得 = ，
即直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为y﹣1= (x+2)，
即8x﹣9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.)
【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错误.
19.数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+ 5=0(n≥1).记 .
(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】(法一)(I)由a1结合递推公式可求a2，a3，a4，代入 求b1，b2，b3，b4
(II)先由(I)中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列 为等比数列，进而可求bn，结合 ⇒ ，从而猜想得以证明，代入求出an•bn，进而求出前n和sn
(法二)(I) 代入递推公式可得 ，代入可求b1，b2，b3，b4
(II)利用(I)中的递推关系个构造数列 为等比数列，从而可求bn，sn
(法三)(I)同法一
(II)先由(I)中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列bn+1﹣bn为等比数列，仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求bn，进一步求sn
【解答】解：法一：
(I)a1=1，故 ; ，
故 ; ，
故 ; ，
故 .
(II)因 ， 故猜想 是首项为 ，公比q=2的等比数列.
因an≠2，(否则将an=2代入递推公式会导致矛盾)故 .
因 ，
故 确是公比为q=2的等比数列.
因 ，故 ， ，
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二：
(Ⅰ)由 得 ，代入递推关系8an+1an﹣16an+1+2an+5=0，
整理得 ，即 ，
由a1=1，有b1=2，所以 .
(Ⅱ)由 ，
所以 是首项为 ，公比q=2的等比数列，
故 ，即 .
由 ，得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
法三：
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ) 猜想{bn+1﹣bn}是首项为 ，
公比q=2的等比数列， 又因an≠2，故 .
因此 =
;
= .
因 是公比q=2的等比数列， ，
从而bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1= = = .
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = .
【点评】本题考查了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归纳推理的运用，综合考查了考生的推理运算能力.
20.一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土.
(1)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程;
(2)试求当截面梯形的下底(较长的底边)长为多少米时，才能使挖出的土最少?
【考点】抛物线的应用.
【专题】应用题.
【分析】(1)以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，一依题意可知A，B的坐标，设出抛物线的方程，把点B代入求得p，进而可求得抛物线的方程.
(2)设等腰梯形的腰与抛物线相切于P，则可利用导函数求得P的切线的斜率，表示直线l的方程，分别令y=0和2求得x，利用梯形面积求得面积的表达式，利用基本不等式求得三角形面积的小值.
【解答】解：(1)如图：以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系
则A(﹣2，2)，B(2，2)
设抛物线的方程为x2=2Py(P>0)，
将点B(2，2)代入得P=1
所以抛物线弧AB方程为x2=2y(﹣2≤x≤2)
(2)设等腰梯形的腰与抛物线相切于 ，(不妨t>0)
则过 的切线l的斜率为y′|x=t=t
所以切线l的方程为： ，即 令y=0，得 ，
令y=2，得 ，
所以梯形面积 当仅当 ，即 时，“=”成立
此 时下底边长为 答：当梯形的下底边长等于 米时，挖出的土最少.
【点评】考查待定系数法求曲线方程的知识;考查直线方程的知识;考查由函数导数或判别式法求曲线切线的知识;考查应用函数单调性或不等式求函数最值的知识;考查选择恰当参数建立数学式子研究几何图形的解析几何思维;考查根据实际选择数学模型的能力(即数学建模能力).
21.如图，动点M到两定点A(﹣1，0)、B(2，0)构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求 的取值范围.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(Ⅰ)设出点M(x，y)，分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程;
(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在(1，+∞)内
可知，m>1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围.
【解答】解：(Ⅰ)设M的坐标为(x，y)，显然有x>0，且y≠0
当∠MBA=90°时，点M的坐标为(2，±3)
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化简可得3x2﹣y2﹣3=0
而点(2，±3)在曲线3x2﹣y2﹣3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0(x>1);
(Ⅱ)直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0(x>1)联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在(1，+∞)内
设f(x)=x2﹣4mx+m2+3，∴ ，∴m>1，m≠2
设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，
∵|PQ|<|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m﹣ ，
∴ = = ∵m>1，且m≠2
∴ ，且 ∴ ，且 ∴ 的取值范围是(1，7)∪(7，7+4 )
【点评】本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围.
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