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数学(mathematics或maths)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。下面是范文网在线www.01hn.com小编整理的2016年课堂精练八年级数学下册北师大版山西专版，供大家参考!2016年课堂精练八年级数学下册北师大版山西专版
一.选择题(共15小题)
1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点;那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为( )
A.12 B.13 C.26 D.30
答案：C
知识点：全等三角形的判定;等腰直角三角形;正方形的性质
解析：
解答：解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形;
斜边长为 的有6个，它们组成15对全等三角形;
斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形;
共计26对.
故选C.
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏.
2.如图所示，E.F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：A
知识点：正方形的性质;全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD
∵CE=DF
∴DE=AF
∴△ADE≌△BAF
∴①AE=BF，S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA
∴④S△AOB=S四边形DEOF
∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°
∴∠AFB+∠EAF=90°
∴②AE⊥BF一定成立.
错误的结论是：③AO=OE.
故选A.
分析：根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到;④S△AOB=S四边形DEOF;可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立.错误的结论是：③AO=OE.本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质.
3.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
答案：D
知识点：正方形的性质;全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：(1)连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°.
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF.
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF.
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°.
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC.
∴FH=AF.
(2)∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°.
(3)连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF.
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH.
∴OA=GF.
∵BD=2OA，
∴BD=2FG.
(4)延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.
∴△CEM的周长为8，为定值.
故(1)(2)(3)(4)结论都正确.
故选D.
分析：(1)作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH;
(2)由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°;
(3)作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG;(4)作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI=IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值.
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等.
4.一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是( )
A.4 B.6 C.10 D.12
答案：D
知识点：正方形的性质
解析：
解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2< <3，
且小方格的对角线长 <1.5.
故该卡片可以按照如图所示放置：
图示为n取最大值的时候，n=12.
故选D.
分析：要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度.本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键.
5.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是( )
A.75° B.60° C.54° D.67.5°
答案：B
知识点：正方形的性质;线段垂直平分线的性质
解析：
解答：解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC= (180°-∠BCE)=15°
∵∠BCM= ∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-(∠BCM+∠EBC)=120°，
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°
故选B.
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可.本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD=∠AMB，确定AC和BD垂直平分是解题的关键.
6.在平面直角坐标系中，称横.纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内(包括边界)整点的个数是( )
A.13 B.21 C.17 D.25
答案：D
知识点：正方形的性质;坐标与图形性质
解析：
解答：解：正方形边上的整点为(0，3)、(1，2)、(2，1)、(3，0)、(4，5)、(5，4)、(6，3)、(4，1)、(5，2)、(1，4)、(2，5)、(3，6);
在其内的整点有(1，3)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)、(4，2)、(4，3)、(4，4)、(5，3).
故选D.
分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点.本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键.
7.在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有( )
A.4条 B.8条 C.12条 D.16条
答案：D
知识点：正方形的性质;点到直线的距离
解析：
解答：解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求.
分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置;②该直线在正方形外，确定直线的位置.本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键.
8.如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于( )
A. B. C. D.
答案：D
知识点：正方形的性质;三角形的面积
解析：
解答：解：连接DP，
S△BDP=S△BDC-S△DPC-S△BPC
= - ×1× - ×1×
= ，
∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍.
∴S△BDP=2S△BDF，
∴S△BDF= ，
设F到BD的距离为h，
根据三角形面积计算公式，S△BDF= ×BD×h= ，
计算得：h= = .
故选D.
分析：图中，F为BP的中点，所以S△BDP=2S△BDF，所以要求F到BD的距离，求出P到BD的距离即可.本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F到BD的距离.
9.搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD.AN.CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点.已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为( )
A.96cm2 B.48cm2 C.24cm2 D.以上都不对
答案：B
知识点：正方形的性质;三角形的面积;相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴ = = ，
同理可证： = = ，
故DK=KO=OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为 正方形ABCD的面积，
∵CN=NB=AM=BM，
∴△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为 =48cm2，
故选B.
分析：先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 .本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO= BD，△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和.
10.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=( )
A.1 B. C. D.1+
答案：C
知识点：正方形的性质，三角形的面积
解析：
解答：解：连接BP，作EH⊥BC，则PM.PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE=1- -S△CDE，
∵DE=BD-BE= ，△CDE中CD边上的高为 ( -1)，
∵S△CDE=CD× ( -1)= - ;
S△BCE=1- -S△CDE= ;
又∵S△BCE=S△BPE+S△BPC= •BC•(PM+PN)
∴PM+PN= = .
故选C.
分析：连接BP，PM.PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM+PN.本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键.
11.顶点为A(6，6)，B(-4，3)，C(-1，-7)，D(9，-4)的正方形在第一象限的面积是( )
A.25 B.36 C.49 D.30
答案：B
知识点：正方形的性质;坐标与图形性质;三角形的面积
解析：
解答：解：连接OA，
过A.D两点的直线方程是 ，即y=- +16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x=7.8，
同理求得过A.B两点的直线方程是y=- +4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y=4.2，
∴S△AOE= ×7.8×6=23.4，
S△AFO= ×4.2×6=12.6，
∴S△AOE+S△AFO=23.4+12.6=36，即顶点为A(6，6)，B(-4，3)，C(-1，-7)，D(9，-4)的正方形在第一象限的面积是36.
分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积.解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E.F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果.
12.ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为( )
A. B. C. D.
答案：B
知识点：正方形的性质;三角形的面积;等边三角形的性质
解析：
解答：解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积
因此本题求解△BCP.△CDP面积和△BCD的面积即可，
S△BCP= ，
S△CDP= ，
S△BCD= ×1×1= ，
∴S△BPD= .
故选B.
分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解.本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形.解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系.
13.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为( )
A.4 B.2 C.2 D.2
答案：A
知识点：轴对称-最短路线问题;等边三角形的性质;正方形的性质
解析：
解答：解：
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴C.A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
连接AE交BD于P，
则此时EP+CP的值最小，
∵C.A关于BD对称，
∴CP=AP，
∴EP+CP=AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP+CP=AE=AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∴EP+CP=4，
故选A.
分析：根据正方形的性质，推出C.A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可.本题考查了正方形的性质，轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力.
14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
答案：A
知识点：正方形的性质;翻折变换(折叠问题)
解析：
解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD=BC=10cm，BE=6cm，∴CE=EF=CD=10-6=4(cm).
分析：根据正方形的性质，即可轻松解答.
15.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
答案：C
知识点：正方形的性质;菱形的性质
解析：
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+FA=4×4=16.
分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答.
二.填空题(共5小题)
1.如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm2.
答案：
知识点：正方形的性质;探索图形规律
解析：
解答：解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的 ，
即 ×1×1= ，
当有三个三角形时，其面积为 + =
当有四个时，其面积为 + + =
所以当n个三角形时，其面积为 .
故答案为 .
分析：求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的 ，由此便可求解.熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题.
2.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为 .
答案：(0，4)或(0，0)
知识点：正方形的性质;坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：连接EF，∵OA=3，OC=2，∴AB=2，
∵点E是AB的中点，∴BE=1，
∵BF=AB，∴CF=BE=1，
∵FE=FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，
∴PC=BF=2，
∴P点坐标为(0，4)或(0，0)，
即图中的点P和点P′.
故答案为：(0，4)，(0，0)
分析：连接EF，CF=BE=1，若EF=FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长.本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题.
3.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 .
答案：
知识点：正方形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质
解析：
解答：解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
(1)BP= ，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴ ，
KP= ，
阴影部分的面积= ×BK×( )= ×[ + ]×
= = ;
(2)HO1= ，HO2= ，
根据勾股定理O1O2=
=
= .
故答案为： ; .
分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可;线段O1O2的长根据勾股定理求解.本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2.
4.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A(0，1)，点B(0，0)，则点C，D坐标分别为 和 .(只写一组)
答案： (1，0) 和 (1，1)
知识点：正方形的性质;坐标与图形性质
解析：
解答：解：∵正方形ABCD的点A(0，1)，点B(0，0)，
∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，
分别为：C(1，0)，D(1，1).
故答案为：(1，0)，(1，1).
分析：首先根据正方形ABCD的点A(0，1)，点B(0，0)，在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标.本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键.
5.如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上.在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个.
答案：5
知识点：正方形的性质;三角形的面积
解析：
解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点.
故答案为 5.
分析：要使得△ABC的面积为2，即S= ah，则使得a=2、h=2或者a=4、b=1即可，在图示方格纸中找出C点即可.本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案.
三.解答题(共5小题)
1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F.
(1)求证： ;
(2)点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与 三者之间的数量关系，并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为 .
答案：(1)见解析 (2)AB-EF1= A1C1 (3)
知识点：正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理
解析：
解答：解：
(1)过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DGA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF= AC+OF，
∴AB-OF= AC.
(2)过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形.
同(1)可得EF1=F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形.
∴EF1=G1F1=F1H1，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1=(A1B+BC1-A1C1)÷2…①
∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1，而CC1=A1A，
∴A1B+BC1=2AB，
因此①式可写成：EF1=(2AB-A1C1)÷2，
即AB-EF1= A1C1.
(3)由(2)得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点.
∴A1E=(A1C1+A1B-BC1)÷2，
如果设CC1=A1A=x，
A1E=[A1C1+(AB+x)-(AB-x)]÷2=(10+2x)÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12，
即：(AB+1)2+(AB-1)2=100，
解得AB=7，
∴BD=7 .
分析：(1)可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF=FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO+OF，而AC=2OA，由此可得证;
(2)本题作辅助线的方法与(1)类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1=F1G1=F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1=(A1B+BC1-A1C1)÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB-EF1= A1C1;
(3)求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助(2)中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E+A1G1=A1C1+A1B-C1E-BG1，由于C1E=C1H1，BG1=BH1，A1E=A1G1因此式子可写成2A1E=A1C1+A1B-BC1，而(A1B-BC1)正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值.
本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单.
2.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE=BF.
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定与性质;正方形的性质
解析：
解答：
证明：∵∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE=BF.
分析：由同角的余角相等知，∠FAB=∠DAE，由正方形的性质知，∠AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE=BF.此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质.学生对学过的知识要系统起来.
3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF为多少度.
答案：45°
知识点：正方形的性质;全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，
∴△ABF≌△AGF(HL)，
∴∠BAF=∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE;
即∠EAF=∠EAG+∠FAG= ∠DAG+ ∠BAG= ∠DAB=45°，
故∠EAF=45°.
分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE;所以可求∠EAF=45°.主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.
4.如图，正方形ABCD中，AB= ，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度.
(1)求证：DF+BE=EF;
(2)求∠EFC的度数;
(3)求△AEF的面积.
答案：(1)见解析 (2)30° (3)
知识点：正方形的性质;全等三角形的判定与性质
解析：
解答：解：(1)延长EB至G，使BG=DF，连接AG，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE;
(2)∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AGE=75°，
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，
∴∠EFC=30°
(3)∵AB=BC= ，∠BAE=30°，
∴BE=1，CE= -1，
∵∠EFC=30°，
∴CF=3- ，
∴S△CEF= CE•CF=2 -3，
由(1)知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ADF-S△AEB-S△CEF=S正方形ABCD-S△AEF-S△CEF，
S△AEF= (S正方形ABCD-S△AEF-S△CEF)=3- .
分析：(1)延长EB至G，使BG=DF，连接AG.利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF;
(2)根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数;
(3)S△AEF=S正方形ABCD-S△ADF-S△AEB-S△CEF=S正方形ABCD-S△AEF-S△CEF，关键求S△CEF.
解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算.
5.已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积.
答案：
知识点：正方形的性质;一次函数的性质;两条直线相交或平行的问题
解析：
解答：解：以B点为坐标原点建立坐标系，如下图：
由题意可得几个点的坐标A(0，4)，B(0，0)，C(4，0)，D(4，4)，E(4，2)，F(1，0).
设BE所在直线的解析式是y=kx，因为BE所在直线经过E点，因此有
4k=2，k= ，
因此BE所在直线的解析式是y= x(1)，
同理可得出DF所在直线的解析式是y= (x-1)(2)，
联立(1)(2)可解得点G的坐标为( ， ).
故可求四边形CEGF的面积S=S△BCE-S△BFG= ×4×2- ×1× = .
分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积=三角形BEC的面积-三角形BFG的面积，求出GECF的面积.本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用.根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键.
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