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三角函数图像篇一:三角函数的图象与性质教学设计
●知识梳理
1.三角函数的图象和性质
函 数
性 质=sinx=csx=tanx
定义域
值域
图象
奇偶性
周期性
单调性
对称性
注：读者自己填写.
2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.
●学生练习
1.函数=sin（ －2x）+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC. D.4π
解析：= cs2x－ sin2x+sin2x= cs2x+ sin2x=sin（ +2x），T=π.
答案：B
2.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是
A.sinxB.csxC.sin2xD.cs2x
解析：检验.
答案：B
3.函数=2sin（ －2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是
A.［0， ］B.［ ， ］
C.［ ， ］D.［ ，π］
解析：由=2sin（ －2x）=－2sin（2x－ ）其增区间可由=2sin（2x－ ）的减区间得到，即2π+ ≤2x－ ≤2π+ ，∈Z.
∴π+ ≤x≤π+ ，∈Z.
令=0，故选C.
答案：C
4.把=sinx的图象向左平移 个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.
解析：向左平移 个单位，即以x+ 代x，得到函数=sin（x+ ），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以 x代x，得到函数：=sin（ x+ ）.
答案：=sin（x+ ） =sin（ x+ ）
5.函数=lg（csx－sinx）的定义域是_______.
解析：由csx－sinx＞0 csx＞sinx.由图象观察，知2π－ ＜x＜2π+ （∈Z）.
答案：2π－ ＜x＜2π+ （∈Z）
●典例剖析
【例1】 （1）=csx+cs（x+ ）的最大值是_______；
（2）=2sin（3x－ ）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.
剖析：（1）=csx+ csx－ sinx
= csx－ sinx= （ csx－ sinx）
= sin（ －x）.
所以ax= .
（2）T= ，相邻对称轴间的距离为 .
答案：
【例2】 （1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（csx）的定义域；
（2）求函数=lgsin（csx）的定义域.
剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤csx≤1，（2）要使sin（csx）＞0，这里的csx以它的值充当角.
解：（1）0≤csx＜1 2π－ ≤x≤2π+ ，且x≠2π（∈Z）.
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2π－ ，2π+ ］且x≠2π，∈Z｝.
（2）由sin（csx）＞0 2π＜csx＜2π+π（∈Z）.又∵－1≤csx≤1，∴0＜csx≤1.故所求定义域为{x｜x∈（2π－ ，2π+ ），∈Z｝.
评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.
【例3】 求函数=sin6x+cs6x的最小正周期，并求x为何值时，有最大值.
剖析：将原函数化成=Asin（ωx+ ）+B的形式，即可求解.
解：=sin6x+cs6x=（sin2x+cs2x）（sin4x－sin2xcs2x+cs4x）=1－3sin2xcs2x=1－ sin22x= cs4x+ .
∴T= .
当cs4x=1，即x= （∈Z）时，ax=1.
深化拓展
函数=tan（ax+θ）（a＞0）当x从n变化为n+1（n∈Z）时，的值恰好由－∞变为+∞，则a=_______.
分析：你知道函数的周期T吗?
答案：π
●闯关训练
夯实基础
1.若函数f（x）=sin（ωx+ ）的图象（部分）如下图所示，则ω和 的取值是
A.ω=1， = B.ω=1， =－
C.ω= ， = D.ω= ， =－
解析：由图象知，T=4（ + ）=4π= ，∴ω= .
又当x= 时，=1，∴sin（ × + ）=1，
+ =2π+ ，∈Z，当=0时， = .
答案：C
2. f（x）=2cs2x+ sin2x+a（a为实常数）在区间［0， ］上的最小值为－4，那么a的值等于
A.4B.－6C.－4D.－3
解析：f（x）=1+cs2x+ sin2x+a
=2sin（2x+ ）+a+1.
∵x∈［0， ］，∴2x+ ∈［ ， ］.
∴f（x）的最小值为2×（－ ）+a+1=－4.
∴a=－4.
答案：C
3.函数= 的定义域是_________.
解析：－sin ≥0 sin ≤0 2π－π≤ ≤2π 6π－3π≤x≤6π（∈Z）.
答案：6π－3π≤x≤6π（∈Z）
4.函数=tanx－ctx的最小正周期为____________.
解析：= － =－2ct2x，T= .
答案：
5.求函数f（x）= 的最小正周期、最大值和最小值.
解：f（x）=
= = （1+sinxcsx）
= sin2x+ ，
所以函数f（x）的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .
6.已知x∈［ ， ］，函数=cs2x－sinx+b+1的最大值为 ，试求其最小值.
解：∵=－2（sinx+ ）2+ +b，
又－1≤sinx≤ ，∴当sinx=－ 时，
ax= +b= b=－1；
当sinx= 时，in=－ .
培养能力
7.求使 = sin（ － ）成立的θ的区间.
解： = sin（ － ）
= （ sin － cs ） ｜sin －cs ｜=sin －cs
sin ≥cs 2π+ ≤ ≤2π+ （∈Z）.
因此θ∈［4π+ ，4π+ ］（∈Z）.
8.已知方程sinx+csx=在0≤x≤π上有两解，求的取值范围.
解：原方程sinx+csx= sin（x+ ）=，在同一坐标系内作函数1= sin（x+ ）与2=的图象.对于= sin（x+ ），令x=0，得=1.
∴当∈［1， ）时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解.
评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法.
探究创新
9.已知函数f（x）=
（1）画出f（x）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；
（2）判断f（x）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期.
解：（1）实线即为f（x）的图象.
单调增区间为［2π+ ，2π+ ］，［2π+ ，2π+2π］（∈Z），
单调减区间为［2π，2π+ ］，［2π+ ，2π+ ］（∈Z），
f（x）ax=1，f（x）in=－ .
（2）f（x）为周期函数，T=2π.
●思悟小结
1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.
2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.
●教师下载中心
教学点睛
1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.
2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可.
拓展题例
【例1】 已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是
A.若α、β是第一象限角，则csα＞csβ
B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，则csα＞csβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ
解析：借助三角函数线易得结论.
答案：Ｄ
【例2】 函数f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤ 对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.
解：f（x）=－sin2x+sinx+a
=－（sinx－ ）2+a+ .
由1≤f（x）≤
1≤－（sinx－ ）2+a+ ≤
a－4≤（sinx－ ）2≤a－ .①
由－1≤sinx≤1 － ≤sinx－ ≤
（sinx－ ） = ，（sinx－ ） =0.
∴要使①式恒成立，
只需 3≤a≤4.
三角函数图像篇二:高一数学三角函数课件
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度。下面就随小编一起去阅读高一数学三角函数课件，相信能带给大家帮助。
一、教学分析
三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在必修Ⅰ中建立的函数概念以及指数函数、对数函数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图像和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图像分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科联系紧密。
二、目标要求
1.总体要求
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域有着重要作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
2.具体要求
（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（ 的正弦、余弦、正切） ，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。
③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2 ] ，正切函数在 上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：
⑤结合具体实例，了解 的实际意义；能借助计算器或计算机画出 的图像，观察参数 对函数图像变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
三、重点和难点分析
1. 理解三角函数是刻画周期现象的重要模型
“三角函数”拓展了函数模型，三角函数模型是刻画周期现象变化规律的最重要、最基本的数学模型，可以直接表述实际问题，更重要的是用它来解决实际问题。
2.弧度制概念的建立
一方面，学生已经熟悉并掌握了角度制，因此，在学习弧度制时，会对学习弧度制的必要性产生怀疑，因而缺乏积极性；另一方面，由于弧度制的定义方法比较特殊，表面上看不出这种定义的优越性，因而对这种更加抽象、更加不易理解的新的度量制容易产生畏难心理。在教学中应注意解决学生学习心理上的障碍。
3.正弦型函数的图像变换
由于变换过程较长，变化较多，所以学生不易掌握。在教学时可以采取先分解，再综合，化整为零，逐个突破，然后再统一归纳的方法。最终，使学生能对变换的根据有全面而深刻的了解。
3.借助单位圆和函数图像学习三角函数
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数的学习集中地体现了数形结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。任意角、任意角的三角函数、三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系以及三角函数的图像等都可以通过单位圆进行直观的理解。
4.综合运用公式进行求值、化简、证明
培养学生根据题目的不同特点，选择适当的公式，设计简捷合理的解题方法；初中代数中学习过的算术根、绝对值等基本概念和三角式结合起来，使学生适应这种新的变化，顺利地把二者结合起来，并熟练地掌握和应用。
四、课时安排
本章教学时间约需17课时，具体分配如下，
§1 周期现象 约1课时
§2 角的概念的推广 约1课时
§3 弧度制 约1课时
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 约4课时
§5 正弦函数的性质与图像 约2课时
§6 余弦函数的图像与性质 约1课时
§7 正切函数 约1课时
§8 函数 的图像 约3课时
§9 三角函数的简单应用 约1课时
本章小结 约2课时
五、教学建议与学法指导
1.教学建议
（1）充分挖掘教材潜力和身边的数学
充分运用教材中所提供的钱塘江潮的潮汐现象、地球围着太阳转、钟摆、水车、摩天轮等自然界、日常生活、生产实践中的实例，使学生感受到自然界中存在着大量遵循周期性运动变化的现象，同时也让学生逐渐认识到三角函数是刻画周期现象的重要模型。
（2）教学中要重视数学思想方法的渗透
无论是概念教学、性质教学还是习题讲解，本单元教学应始终渗透着旋转、对称变换及数形结合的思想方法，使学生初步形成用运动变化的观点以及借助图形的直观性来分析、解决问题。
（3）恰当地使用信息技术
信息技术应为数学的教学服务，教学中不应为用信息技术而用，关键要看其能否为教学目标服务，达到传统方法难以达到的效果。在本单元，有相当多的章节适合使用信息技术，如周期性、函数的图像及其变换等等，要尽力用多媒体进行直观展示，提高教学效果。
2.学法指导
（1）经历数学建模的过程；
（2）利用单位圆和正弦函数图像两种方式学习三角函数的有关知识；
（3）借助多媒体信息技术，深化对知识的理解。
三角函数图像篇三:余弦函数图象教学设计
一、 教学内容与任务分析
本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修四第一章第四节1.4.1正弦函数、余弦函数的图象。本节课的教学是以之前的任意角的三角函数，三角函数的诱导公式的相关知识为基础，为之后学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。
二、 学习者分析
学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数的诱导公式，并且刚学习三角函数线，这为用几何法作图提供了基础，但能不能正确应用来画图，这还需要老师做进一步的指导。
三、 教学重难点
教学重点：正弦余弦函数图象的做法及其特征
教学难点：正弦余弦函数图象的做法，及其相互间的关系
四、 教学目标
1. 知识与技能目标
（1） 了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图
象
（2） 掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征
（3） 掌握利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系 （4） 掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图 2. 过程与方法目标
（1） 通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系 （2） 体会数形结合的思想
（3） 培养分析问题、解决问题的能力 3. 情感态度价值观目标
（1） 养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识 （2） 激发数学的学习兴趣
（3） 体会数学的应用价值
五、 教学过程
一、 复习引入
师：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而确定的角又有着唯一确定的正弦（或余弦）值。
这样任意给定一个实数x有唯一确定的值sinx（cosx）与之对应，有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R。
遇到一个新的函数，我们很容易想到的就是画函数图象，那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢？
我们先来做一个简弦运动的实验，这就是某个简弦函数的图象，通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢
【设计意图】通过动手实验，体会数学与其他的联系，激发学习兴趣。
二、 讲授新课
（1）正弦函数y=sinx的图象
下面我们就来一起画这个正弦函数的图象
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角0,
，2π的正弦线正弦线
（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
【设计意图】通过按步骤自己画图，体会如何画正弦函数的图象。 根据终边相同的同名三角函数值相等，所以函数y=sinx,x∈[2k∏,2(k+1)∏,k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0,2∏)的图象的形状完全一致。于是我们只要将y=sinx，x∈[0,2∏)的图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象. 【设计意图】由三角函数值的关系，得出正弦函数的整体图象。
把角x(x?R)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y
=sinx的图象.
（2）余弦函数y=cosx的图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变得
到余弦函数的图象？ 根据诱导公式cosx
?sin(x?
?2
)
,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移
?2
单位即得余弦函数y=cosx的图象.
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中画出余弦函数的图象，体会数学知识间的联系，以及类比的数学思想。 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 【设计意图】通过问题，为下面五点法绘图方法介绍做铺垫 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ((
3?2
?
2
,1) (?,0)
,-1) (2?,0)
?
2
余弦函数y=cosxx?[0,2?]的五个点关键是哪几个？(0,1) ((
3?2
,0) (?,-1)
,0) (2?,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图． 3、 讲解范例
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx
【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画法步骤。
探究1． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、 翻转等）来得到
（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 探究2．
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X轴对称。 探究3．
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。 探究4．
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。
【设计意图】通过四个探究问题，对画图法以及正弦余弦函数及其图象的性质有更深刻的认识。 4、 小结作业
对本节课所学内容进行小结
【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。 布置分层作业
基础题A题，提高题B题
【设计意图】将课堂延伸，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展，是每个层次的学生都有所进步。
本文来源：https://www.bbjkw.net/fanwen132104/
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