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本章知识是学习函数的基础，要求掌握表示变量之间关系的三种方法，学会分析变量之间的关系，并能进行简单的预测.
02 典例精讲
【例1】 下面的表格列出了一个试验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是(C)
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
A.b=d2 B.b=2d
C.b=d2 D.b=d+25
【思路点拨】 这是一个用图表表示的关系，可以看出d是b的2倍，即可得关系式.
【方法归纳】 利用表格表示两个变 量之间关系，其对应值清晰明了，但它们之间的关系不够明朗，要结合数据加以分析才能发现潜在的规律.从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量，一般第一栏为自变量，第二栏为因变量.
【例2】 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D)
①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系);②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系);③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系);④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系).
A.①②④③ B.③④②①
C.①④②③ D.③②④①
【思路点拨】 观察图象的走势，并与实际情景相联系是解决此题的关键.
【方法归纳】 解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析，抓住图象的转折点，这些转折点往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.
【例3】 如图所示，圆柱的高为10 cm，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化.
(1)在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量;
(2)请你求出圆柱的体积V(cm3)与圆柱的底面半径R(cm)之间的关系式;
(3)R的值能为负值吗?为什么?
(4)当圆柱的底面半径从2 cm变化到5 cm时，圆柱的体积变 化了多少?(最后结果保留π)
【思路点拨】 (1)题目中有两个变量，主动变化的量是圆柱的底面半径，随之变化的是圆柱的体积;在(2)中，根据圆柱的体积=底面积×高即可求出V与R之间的关系式;由于R为圆柱的底面半径，所以(3)中R不能为负值;在(4)中，分别求出R1=2 cm和R2=5 cm时圆柱的体积，其差值即为体积的变化量.
【解答】 (2)因为圆柱的体积=底面积×高，
所以V=πR2×10=10πR2.
(3)因为R为圆柱的底面半径，所以R>0，因此R不能为负值.
(4)因为10πR22-10πR21=10π•52-10π•22=10π•(52-22)=210π，所以圆柱体积增加了210π cm3.
【方法归纳】 当变量之间的关系以图形形式表示时，可根据图形特点寻找有关变量的等量关系.然后根据等量关系列出关系式.值得注意的是，为使实际问题有意义，在求出变量之间的关系式后，要根据具体的题目要求，确定自变量的取值范围.
03 整合集训
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.小亮以每小时8千米的速度匀速行走时，所走路程s(千米)随时间t( 小时)的增大而增大，则下列说法正确的是(C)
A.8和s，t都是变量 B.8和t都是变量
C.s和t都是变量 D.8和s都是变量
2.已知三角形ABC的面积为2 cm2，则它的底边a(cm)与底边上的高h(cm)之间的关系为(D)
A.a=4h B.h=4a
C.a=h4 D.a=4h
3.对关系式的描述，不正确的是(D)
A.x看作自变量时，y就是因变量
B.x，y之间的关系也可以用表格表示
C.x在非负数范围内，y的最大值为2
D.当y=0时，x的值为-2
4.如图所示y=2-x是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(C)
A.这天15时气温最高
B.这天3时气温最低
C.这天最高气温与最低气温的差是13℃
D.这天有两个时刻气温是30℃
5.2017年1月4日上午，小华同学接到通知，他的作文通过了《我的中 国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是(C)
6.已知某山区平均气温与该山区海拔高度的关系如下表所示：
海拔高度/m … 0 100 200 300 400 …
平均气温/℃ … 22 21.5 21 a 20 …
则表中a的值为(B)
A.21. 5 B.20.5 C.21 D.19.5
7.一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间.用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示变量y与x之间关系的选项是(B)
8.(衡阳中考)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系，根据图象，下列信息错误的是(A)
A.小明看报用时8分钟
B.公共阅报栏距小明家200米
C.小明离家最远的距离为400米
D.小明从出发到回家共用时16分钟
9.贝贝利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … 12
25
310
417
526
…
那么，当输入数据8时，输出的数据是(C)
A.861 B.863 C.865 D.867
10.如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一 水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分)，则变量S与t的大致图象为(A)
二、填空题(每小题4分，共20分)
11.圆的周长C与圆的半径r之间的关系式为C=2πr，其中常量是2， π.
12.一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h=20-4t.
13.如图是某个计算y值的程序，若输入x的值是32，则输出的y值是12.
14.(义乌中考)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家.如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象，则小明回家的速度是每分钟步行80米.
15.下面由小木棒拼出的系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，请写出第n个图形中小木棒的根数S与n的关系式S=3n+1.
三、解答题(共50分)
16.某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费y(元)与印刷数量x(张)之间关系如表：
印刷数量x(张) … 100 200 300 400 …
收费y(元) … 15 30 45 60 …
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)从上表可知：收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大;
(3)若要印制1 000张宣传单，收费多少元?
解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系，印刷数量是自变量，收费是因变量.
(3)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元，所以每张的价格是0.15元.
所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y=0.15x.
当x=1 000时，y=0.15×1 000=150(元).
故要印制1 000张宣传单，收费150元.
17.(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同，下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况.
(1)上图反映了哪两个变量之间的关 系?自变量是什么?因变量是什么?
(2)A，B两点表示什么?
(3)小蕊10岁时身高多少?17岁时呢?
(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同.
解：(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系，自变量是年龄，因变量是身高.
(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米，B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米.
(3)小蕊10岁时身高130厘米，17岁时身高160厘米.
(4)相同点：进入青春期，两人随年龄的增长而快速长高，并且在11岁和14岁时两人的身高相同;
不同点：11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些，14岁后小军的身高变化比小蕊的快些.
18.(10分)如图所示，在△ABC中，底边BC=8 cm，高AD=6 cm，E为AD上一动点，当点E从点D沿DA向点A运动时，△BEC的面积发生了变化.
(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么?
(2)若设DE长为x(cm)，△BEC的面积为y(cm2)，求y与x之间的关系式.
解：(1)ED长度是自变量，△BEC的面积是因变量.
(2)y与x的关系式为y=4x.
19.(10分)新成药业集团研究开发了一种新药，在试验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.当儿童按规定剂量服药后：
(1)何时血液中含药量最高?是多少微克?
(2)A点表示什么意义?
(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长?
解： (1)服药后2小时血液中含药量最高，最高是4微克.
(2)A点表示血液中含药量为0.
(3)有效期为5小时.
20.(10分)如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD ，设与墙平行的篱笆AB的长为x m，菜园的面积为y m2.
(1)试写出y与x之间的关系式;
(2)当AB的长分别为10 m和20 m时，菜园的面积各是多少?
解：(1)因为与墙平行的篱笆AB的长为x m，
所以长方形的另一边长为60-x2 m，
则长方形的面积为60-x2•x m2.
所以y与x之间的关系式为：
y=60-x2•x=-12x2+30x.
(2)当x=10时，
y=-12×102+30×10=250(m2);
当x=20时，
y=-12×202+30×20=400(m2).
21.(12分)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的关系.根据图象解答下列问题：
(1)甲、乙两地之间的距离为900km;
(2)请解释图中点B的实际意义;
(3)求慢车和快车的速度.
解：(2)图中点B的实际意义是：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇.
(3)由图象可知，慢车12 h行驶的路程为900 km，
所以慢车的速度为90012=75(km/h).
当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900 km，所以慢车和快车行驶的速度之和为9004=225( km/h)，所以快车的速度为225-75=150(km/h).
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