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在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系。烟花美文网www.39394.com 小编今天为大家精心准备了曲线与方程教学设计，希望对大家有所帮助!曲线与方程教学设计
《曲线与方程》教学设计
新疆兵团农二师华山中学 陶述兵
一、教学内容：人教版选修2—1第二章第一节：曲线与方程
二、教材分析
曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，曲线的方程是曲线几何的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示。在直角坐标系中，点可由它的坐标来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用含x、y的方程来表示。“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础，对解析几何教学有着深远的影响，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。
●教学目标：
1.通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程，初步理解曲线的方程和方程的曲线的概念。
2.理解曲线的方程与方程的曲线的概念和集合相等的关系、渗透转化与化归的思想与数形结合的思想 。
3.培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神。
●教学重点
理解曲线的方程和方程的曲线的概念。
●教学难点
对曲线与方程对应关系的理解。
●学情分析
新课标强调返璞归真，努力揭示数学概念、结论的发展背景，过程和本质，揭示人们探索真理的道路。本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会孕育在其中的思想，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点，选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”，“ 圆的方程”入手，以集合相等，辅助理解 “曲线的方程”与“方程的曲线”，进一步强化了概念理解的深刻性。无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。
教学过程设计
教学步骤教师活动学生活动设计意图
一、情景引入
幻灯片展示：现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，古代的石拱桥和现代繁华都市的立交桥的图片
教师引出课题
观看图片并回答
激发兴趣，将课件中的图片抽象成曲线，体现出“数”控制“形”的变化
二、探究问题，引出概念
问题一
(1)平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线方程是什么?
为什么?你能用集合的知识加以阐述吗?
(2)方程|y|=|x|是上述直线的方程吗?
(3)以上两个方程不是直线的方程，那么你们能找出第一、三象限角平分线的方程吗?
问题二
圆心在C(1,2),半径为2的圆的方程是
吗?
引导学生回顾直线的方程，圆的方程和集合的相关知识
学生思考问题，并回答
从学生已学知识为切入点，引起学生的关注，引发数学思考，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。使学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、反思与建构等思维过程。
三、归纳，生成概念
曲线的方程、方程的曲线的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程
的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点;
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
鼓励学生归纳出曲线的方程、方程的曲线的定义
结合问题一、问题二
尝试归纳，生成概念
由特殊到一般，从简单到复杂，使新知的建构顺畅和自然，既体现在教师引导下学生自我建构，又使学生感到知识之间并不是孤立的，而是相互联系的，他们是一个相互联系的、密切相关的整体。
四、通过运用，巩固概念
练习
1、过点A(2，0)平行于y轴的直线方程是|x|=2吗?为什么?
2、到两坐标轴等距离的点的轨迹方程是y=x吗?为什么?
例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是
学生回答，老师点评。
学生思考、回答，学生之间互相补充。
数学概念是要在运用中得以巩固，通过练习，可以纠正错误的认识，促使对概念的正确理解，
五、课堂小结
1、曲线的方程和方程的曲线的概念
通过本节学习，要理解曲线的方程和方程的曲线的概念，曲线C和方程f(x,y)=0必须满足两个条件。曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法，曲线与方程的这种对应关系，是通过平面直角坐标系建立的，曲线和方程之间的对应关系，实质上是曲线C上点的坐标与方程的解之间的对应关系问题。以及用集合相等来辅助理解曲线的方程和方程的曲线的概念。
2、基本思想与方法
数形结合的思想 ， 转化与化归的思想
提问
学生归纳整理并回答
学生补充
让学生回顾、总结、联系、整合、提高认识、理解。
六、布置作业
1.举出一个曲线的方程的例子.
2.举出一个方程与一条曲线，使它们之间符合关系(1)而不符合关系(2).
3.举出一个方程与一条曲线，使它们间符合关系(2)而不符合关系(1).
幻灯片展示
巩固所学知识
“曲线与方程”教学设计
深圳中学 郭慧清
一、教学内容与内容解析
1.内容：
(1)曲线的方程与方程的曲线的概念;(2)求曲线的方程;(3)坐标法的基本思想与简单应用.
2.内容解析：
“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容.在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备.尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些.因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.
研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的.因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质.
在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线(或点集).因此，曲线的方程是曲线的唯一表示.这种表示，为人们表达自己的思想认识提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养.
二、教学目标与目标解析
1.目标：
(1)通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系;
(2)通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程;
(3)通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.
(4)通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用.
2.目标解析：
教学目标(1)和(2)是本节课的教学重点，教学时落实好目标(1)、(2)和(3)是实现教学目标(4)的前提与保证.
学生通过函数y =f(x)及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.
教学目标(3)是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线(比如直线，圆等)在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点.
对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的.因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标(4)的一种较好的方法.
三、教学问题诊断分析
1.如何理解曲线与其方程之间的关系?学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题. 这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明.
2.在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系?这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一.教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会.
3.在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题.对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题.
4.学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.
四、教学支持条件
1.在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数y =f(x)及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.
2.曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，TI图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学中充分利用这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.
五、教学过程设计
引子：如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他(她)聚会地点?例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”(如图一)，你会怎样说?
(图一) (图二)
意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。
师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标(如图二)。
[问题1] 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线(航行方向与东向西方向的夹角的正切值为4/7)，那么它是否会受到台风的影响?
这是同学们在学习数学必修2时曾经研究过的问题，你能说说你现在会怎样解决这个问题?
意图：体会坐标法的思想，强调研究曲线与方程的概念的必要性，让学生体会数学方法的好处.
师生活动：教师提出问题后让学生交流并回答他们的想法，在此基础上，教师归纳并演示过程：如图建立直角坐标系，得出船的航线的方程为4x+7y-28=0，圆形区域的边界圆的方程为x2+y2=9.联解上面两个方程所成的方程组有一定的困难，可以通过TI图形计算器求解，如下列图示：
由此可见让船按原定航线航行不会出现危险.
进一步问学生：如果没有坐标法，没有直线的方程与圆的方程，但要确定能否让船按原定航线航行，你会怎样做?
[问题2]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点(x0,y0)，且方向向量为
的直线是唯一确定的，你能求出这条直线的方程吗?怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢?
意图：为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫.
师生活动：让学生尝试求直线的方程，在得出直线的方程后，教师介绍怎样说明所得的方程就是直线的方程.
[问题3] 你能说明中心在(a,b)，半径为
的圆
的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2吗?
意图：让学生体会教师在[问题2]中介绍的“说明所得方程是直线的方程”的方法，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.
师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生完成说明过程.
[问题4] 对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗?
意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.
师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生阅读教材上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.最后问学生：
[问题5] 给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线
的方程”;命题B：“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件?
意图：加深对曲线的方程与方程的曲线的概念的认识.
师生活动：学生回答，教师评析.学生完成教材P37练习第1题，并将题中的“中线AO(O为原点)所在直线的方程”修改为“中线AO(O为原点)的方程”后，提问学生结论有无改变?学生完成P37练习第2题.
[问题6] 你能画出函数
的图象
吗?图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征?是否具有这些几何特征的点都在图象C上?
意图：理解用解析式表示的函数与其图象之间的关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念.
师生活动：(1)师生画出函数
的图象C(可以利用信息技术工具);(2)学生思考“图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象C上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数k”;(3)学生思考“到两坐标轴的距离的乘积是常数
的点都在图象C上”吗?;(4)师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是
”;(5)证明所得结论，完成教材P35例1.
[问题7] 阅读教材P35“2.1.2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论?
意图：明确解析几何研究的基本内容.
师生活动：学生阅读教材并提炼回答内容，请学生回答，教师点评.
[问题8]已知平面上的线段BC的长为
，动点A位于线段BC所在直线的同一侧，且向线段BC所张的角恒为
，动点A的轨迹是否有有限长度?若有，你能求出其长度吗?
意图：归纳求曲线的方程的步骤，体会坐标法的基本思想.
师生活动：
(1)教师讲解：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则
，
.设点A在x轴的上方，坐标为(x,y) (y>0)，则点A的集合为
.
由于
因为
所以
所以，点A的坐标满足方程x2+(y-1) 2 = 4 ① ;
反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中.
所以，点A的轨迹方程是①，点A的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的
.因此，动点A的轨迹的长度为
(2)教师根据上述过程总结求曲线的方程的步骤(见教材P36).
(3)提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点A的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么?教师归纳总结建立坐标系的一般要点.
(4)提问学生思考：为什么不能把x2+(y-1) 2 = 4作为点A的轨迹方程?
(5)学生练习教材P37练习第3题.
[问题9] 已知一条直线
和一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线上面的点到F的距离减去到l的距离所得的差都是2.你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗?
意图：帮助学生熟悉和巩固求曲线的方程的步骤.
师生活动：
(1)师生一起讨论如何画出图形，如何建立坐标系.
(2)让学生按步骤求出曲线的方程.
(3)师生一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程中出现多余的解.
(4)简化求解步骤.
[问题10]建立坐标系后，是否存在一条曲线有两个不同的方程?你能以[问题1]和[问题8]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗?
意图：归纳总结本节内容.
师生活动：学生思考交流，教师帮助总结.
五、目标检测设计
1.教材P37，习题2.1：A组第3、4题;B组第1题.
2.已知平面上的线段BC的长为
，动点A向线段BC所张的角恒为
，你能求出动点A运动的轨迹的长度吗?
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