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近年来全国各地高考数学试题,考查不等式恒成立的有关试题非常普遍,这类问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点..下面是www.39394.com烟花美文网小编整理的不等式恒成立,供大家参考!不等式恒成立
摘 要:近年来全国各地高考数学试题,考查不等式恒成立的有关试题非常普遍,这类问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点..
关键词:不等式;恒成立;参数范围
不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式:一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归,通过等价转化可以把问题顺利解决,下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
一、构造函数法
在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.例如;
例1 已知不等式
解:由
解得
评注:此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于
二、分离参数法
在不等式中求含参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时,常用分离参数法.
例2 已知函数
(Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数
解析:由题意知,函数
注:此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于
三、数形结合法
如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.
例3 已知函数
解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数
注:解决不等式问题经常要结合函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.如:不等式
四、最值法
当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时,可直接求出这个最值(最值可能含有参数),然后建立关于参数的不等式求解.
例4 已知函数
(Ⅰ)当
(Ⅱ)若
解(Ⅱ)当
例5 对于任意实数x,不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立,求实数a的取值范围分析①:把左边看作x的函数关系,就可利用函数最值求解.
解法1:设f(x)=│x+1│+│x-2│
=-2x+1,(x≤1)3,(-1
∴f(x)min=3.
∴a<3.
分析②:利用绝对值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解f(x)=│x+1│+│x-2│的最小值.
解法2:设f(x)=│x+1│+│x-2│,
∵│x+1│+│x-2│≥│(x+1)-(x-2)│=3,
∴f(x)min=3. ∴a<3.
分析③:利用绝对值的几何意义求解.
解法3:设x、-1、2在数轴上的对应点分别是P、A、B,则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│,当点P在线段AB上时,│PA│+│PB│=│AB│=3,当点P不在线段AB上时,│PA│+│PB│>3,因此不论点P在何处,总有│PA│+│PB│≥3,而当a<3时,│PA│+│PB│>a恒成立,即对任意实数x,不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立.∴实数a的取值范围为(-∞,3).
点评:求“恒成立问题”中参数范围,利用函数最值方便自然,利用二次不等式恒为正(负)的充要条件要分情况讨论,利用图象法直观形象.
从图象上直观得到0
参考文献:
①孟凡栋.恒成立型不等式中参数范围的几种求法》.《数学教学通讯》2004年第01期
②三维设计高三总复习
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