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篇一:[二次函数的图像和性质]《二次函数的图象和性质》教学设计
教学目标:
1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.
3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
4.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.
教学重点：
1.利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同.
教学难点：
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现探索经验运用的思维过程.
教学过程：
一、学前准备
我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是_______________，一般的一次函数的图象是____________，反比例函数的图象是_________________.上节课我们学习了二次函数的一般形式为_________________________，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题.
二、探究活动
(一)、作函数y=x2的图象.
回忆画函数图象的一般步骤吗?(列表，描点，连线.)
下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.
(1)列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.
(二)、议一议
对于二次函数y=x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?
(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?
(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并交流.
下面我们系统地总结：
(三)y=x2的图象的性质.
二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.
大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.
当堂练习：按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象.
y=-x2的图象如右图，并让学生总结：
形状是___________，只是它的开口方向____________，它
与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可
以看成是__________对称.
试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.
并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.
不同点：
相同点：
联系：
(四)课堂练习： 随堂练习(P47)
三.学习体会
1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问?
2.你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方?
3.预习时的疑问解决了吗?
四.自我测试
1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象.
2.下列函数中是二次函数的是 ( )
A. y=2+5x2 B.y= C.y=3x(x+5)2 D. y=
3.分别说出抛物线y=4x2与y=- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标
4、已知函数y=mxm2+m.
(1)m取何值时，它的图象开口向上.
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大.
(3)当x取何值时，y随x的增大而减小.
(4)x取何值时，函数有最小值.
篇二:[二次函数的图像和性质]二次函数的图象和性质教学设计
教学目标：
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
重点难点：
重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
[因为y＝－x2＋x－＝－(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]
5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?
二、解决问题
由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －6 －4 －2 －2 －2 －4 －6 …
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x2＋x－的图象，如图所示。
说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。
让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2
三、做一做
1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?
教学要点
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。
2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
教学要点
(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
y＝ax2＋bx＋c
＝a(x2＋x)＋c
＝a[x2＋x＋ ()2－()2]＋c
＝a[x2＋x＋()2]＋c－
＝a(x＋)2＋
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴是x＝－b/ 2a ，顶点坐标是(－，)
四、课堂练习
课本练习第1、2、3题。
五、小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
篇三:[二次函数的图像和性质]函数的性质知识点总结
众所周知，函数是重点也是难点哈，函数性质，图像以及零点和分段函数是高考的热点哦，下面是小编为大家收集整理的函数的性质知识点总结，欢迎阅读。
一次函数
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：（不全，希望有人补充）
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x= -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 顶点坐标对 称 轴
y=ax^2(0，0) x=0
y=a(x-h)^2(h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h
y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
反比例函数
形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为
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