[数列错位相减]错位相减

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错位相减篇(1):错位相减法毕业论文素材

　　导语：错位相减法是一种常用的数列求和方法。应用于等比数列与等差数列相乘的形式。下面是小编收集整理的错位相减法毕业论文素材，欢迎参考！
　　【错位相减法毕业论文素材一】
　　一、问题的提出
　　a1(1-qn)我们都知道，高一课本第一册(上)在推导等比数列前n项和公式Sn= 1-q，随即在书中的第137页复习参考题三B(q≠1)的过程中运用了著名的“错位相减法”。
　　组中出现了运用该方法来解决的求和问题：6、S=1+2x+3x2+??+nxn-1。 这类数列的主要特征是：已知数列{Cn}满足Cn=an?bn其中{an}等差，{bn}等比且公比不等于1，老师们形象地称这类数列{Cn}为“等差乘等比型”数列。求这类数列前n项的和时通常在和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法即所谓的“错位相减法”。 而且近年来的各地乃至全国高考的试卷中频频出现此类型的数列的求和问题，解法当然是不变的“错位相减法”，而且老师在平时的讲题中也一再强调该类型的前n项和只能用错位相减法来解决，似乎成了“自古华山一条道”的绝法。难道真的没有其他的解决方法了吗?这的确没有让我墨守成规，反而激起了我无限的探索欲。
　　二、特例解决带来的启发
　　当q≠1时等比数列{an}通项an=a1qn-1可变形为an=a1qn-1?a1-q=1(qn-1-qn) 1-q1-q
　　于是前n项和Sn=a1a[(1-q1)+(q1-q2)+?+(qn-1-qn)]=1(1-qn) 1-q1-q
　　受到上面变形的启发，我想既然等比数列的通项可以裂成两项的差的形式，那么公比不为1的“等差乘等比型”数列的通项如果也能裂成类似的形式，那么让我苦思冥想的那个求和方法不就神奇的找到了吗?在此之前，我们老师还一再强调此类数列的求和不能用裂项相消，如果这一设想成功的话，算不算是观念和方法上的一次突破。
　　三、一个方法的发现
　　裂项求和也是数列求和中最常用的一种方法，它的本质是将数列中的每一项都化为两项之差，并且前一项的减数恰好与后一项被减数相同，求和时中间项相抵消。
　　【错位相减法毕业论文素材二】
　　数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。很多同学遇到数列求和问题总是感到力不从心，甚至有的同学把它看作是自己的死穴，觉得即使思考也做不出来，何必耽误时间，因此遇到这类问题就直接跳过。在这中间，错位相减是一个比较重要的内容，也是一个及其有效的解决数列求和的简便方法，但是由于它的计算量比较大，同时要反复列出几个式子并且不断求解，有的题目一眼看上去不容易找出公比，更加导致一些同学放弃或者只计算其中的一部分。实际上，通过分层次练习，总结经验，并找到规律，这类问题的求解会变得相当的简单。
　　一、错位相减理论分析
　　错位相减是高中数学教材中推导等比数列前n项和的一种思想方法，它在解决由一个等差数列和一个等比数列对应项之积所构成的数列求和，具有非常重要的意义。由于它的独特性与实用性，并且与课本知识紧密结合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵从的思想是一种转化的思想，经过转化可以把它转化成为等比问题求解。乘以相同的公比得到新式子，再同旧式子错位相减，就得到了一个含有等比数列的等式，细心计算，便不难求解。
　　二、错位相减题目举例
　　首先，我们先看一道最简单的例题，从简单题中得到启发。
　　例1.已知数列an=nλnλ，求数列的和。
　　解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1)λn-1+nλn，JY①
　　两边同时乘以λ，得
　　λTn=λ2+2λ3+…+n-1)λn+nλn+1，JY②
　　①-②，得
　　JZ1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，
　　JZ∴1-λ)Tn=SXλ1-λn)1-λSX)-nλn+1，
　　JZ∴Tn=SXλ1-λn)1-λ)2SX)-SXnλn+11-λSX).
　　这是一个最简单的错位相减，同时也是解决错位相减问题的一个基础题目。
　　下面，我们来看一道有些麻烦的题目。
　　例二.an=1-2n)2n，求Sn.
　　解：由题意知，JZan=(1-2n)2n，
　　JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，
　　即
　　DKSn=(1-2)2+(1-4)22+(1-6)23+…+(1-2n)2nDK)JY①
　　①×2得
　　DK2Sn=(1-2)22+(1-4)23+…+(3-2n)2n+(1-2n)2n+1DK)JY②
　　②-①得
　　JZSn=2+222+23+…+22n-(2n-1)2n+1
　　JZ=2+2SX4(1-2n-1)1-2SX)-(2n-1)2n+1
　　JZ=(1-n)2n+2+2n+1-6
　　例二是一个具体化的错位相减问题，对于这些直接列出的题目，大多数的学生都可以做出来，出错率也比较的低，但是，在如今这样一个考验学生综合素质=的社会中，我们遇到的大多都是多个知识点结合的题目。下面我们通过一道高考题来进一步认识一下错位相减。
　　例三.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4.
　　(1)求数列的通项公式.
　　(2)设bn=(4-an)qn-1q≠0，n∈求数列的前n项和.
　　解：(1)设{an}的公差为d，则由已知得
　　JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB)即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB)
　　解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1)=4-n.
　　(2)由(1)知，bn=nqn-1，
　　于是JZSn=1q0+2q1+3q2+…+nqn-1，
　　若q≠1，上式两边同时乘以q.
　　JZqSn=1q1+2q2+3q3+…+nqn-1，
　　两式相减得：
　　JZ(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-nqn=SX1-qn1-qSX)-nqn.
　　JZ∴Sn=SX1-qn(1-q)2SX)-SXnqn1-qSX)=SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX).
　　若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1)2SX)，
　　JZ∴Sn=JB{HL2SXn(n+1)2SX)(q=1)
　　SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX)q≠1)HL)JB)
　　针对这个问题，许多同学容易忽视对于q的讨论致使题目出错。这个问题的关键是对于等比数列的定义的认识，若是忽视了等比数列定义中对于公比的界定，则很容易导致问题出错。我们回顾例一可以发现，在例一中我们对公比进行了限定，因此，在下面的解题中就不需要进行讨论。
　　三、方法总结
　　A.分析题型，确定类型。错位相减问题具有很强的规律性，当然也适应特定的题目，所以，在做题之前首先需要明确题目的类型，错位相减法是否使用。首先，确定是否为数列类型的题目;其次再确定是否为求和问题;最后，通过观察通项的类型，确定是否可以使用错位相减法解决问题。错位相减法是等差数列和等比数列的有效结合，即
　　JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn
　　其中an为等差数列，bn为等比数列。
　　B.错位相减的做题方法
　　以例1为例，即
　　Tn=λ+2λ2+…+(n-1)λn-1+nλnJY①
　　λTn=λ2+2λ3+…+(n-1)λn+nλn+1JY②
　　(1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③
　　1.①×公比λ得②式(或乘以公比的倒数，解题方法类似);
　　2.①-②得③(③式为：留①头，减②尾，中间对应次数相减的同系数);
　　3.③里面含有n+1项;
　　4.按照等比数列求和方法求③式的前n项的和，减去第n-1项;
　　5.③式两边同时除以SX1λ-1SX)得最后的结果。
　　在使用错位相减求和时，一定要善于识别这类题目，准确的识别是正确解题的关键。同时要十分注意等比数列的公比为负数的情形，此外，一定要注意在书写的时候注意将①②两式的“错项对齐”，即将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子(即式①)前面空出一项，另外一个式子(即式②)后面就会多出一项，①②两式相减得到③式，在式③中除了第一项和最后一项，剩下的n-1项是一个等比数列。当然认真细致，悉心体会，记住规律，耐住性子也是相当重要的。
　　“知行统一”的重要性大家应该都知道，当我们记住了理论的知识，勤加练习，反复运用才会使我们事倍功半，恰巧，错位相减正需要我们的大量练习，在不断的练习，反复的刺激我们的记忆细胞下才有可能使我们在做题的时理论练习实际，减少出错率。

错位相减篇(2):数列求和公式方法总结

　　数列求和是历年高考的必考内容，重点要熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式，其中错位相减法和裂项相消法也是考查的重点。下面为大家发分享了数列求和公式方法，希望对大家有帮助！
　　一、分组转化求和法
　　若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。一般步骤是：拆裂通项

错位相减篇(3):高考前数学知识点总结

　　高考是人生的一个关键转折点，成败在此决定。下面就是小编整理的高考前数学知识点总结，一起来看一下吧。
　　选择填空题
　　1、易错点归纳：
　　九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
　　针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
　　2、答题方法：
　　选择题十大速解方法：
　　排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法;
　　填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
　　解答题
　　专题一、三角变换与三角函数的性质问题
　　1、解题路线图
　　①不同角化同角
　　②降幂扩角
　　③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h
　　④结合性质求解。
　　2、构建答题模板
　　①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
　　②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
　　③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
　　④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
　　专题二、解三角形问题
　　1、解题路线图
　　(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
　　(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
　　2、构建答题模板
　　①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
　　②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
　　③求结果。
　　④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
　　专题三、数列的通项、求和问题
　　1、解题路线图
　　①先求某一项，或者找到数列的关系式。
　　②求通项公式。
　　③求数列和通式。
　　2、构建答题模板
　　①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
　　②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
　　③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
　　④写步骤：规范写出求和步骤。
　　⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
　　专题四、利用空间向量求角问题
　　1、解题路线图
　　①建立坐标系，并用坐标来表示向量。
　　②空间向量的坐标运算。
　　③用向量工具求空间的角和距离。
　　2、构建答题模板
　　①找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。
　　②写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。
　　③求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。
　　④求夹角：计算向量的夹角。
　　⑤得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。
　　专题五、圆锥曲线中的范围问题
　　1、解题路线图
　　①设方程。
　　②解系数。
　　③得结论。
　　2、构建答题模板
　　①提关系：从题设条件中提取不等关系式。
　　②找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。
　　③得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。
　　④再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。
　　专题六、解析几何中的探索性问题
　　1、解题路线图
　　①一般先假设这种情况成立(点存在、直线存在、位置关系存在等)
　　②将上面的假设代入已知条件求解。
　　③得出结论。
　　2、构建答题模板
　　①先假定：假设结论成立。
　　②再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。
　　③下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯。 定假设;若推出矛盾则否定假设。
　　④再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性。
　　专题七、离散型随机变量的均值与方差
　　1、解题路线图
　　(1)①标记事件;②对事件分解;③计算概率。
　　(2)①确定ξ取值;②计算概率;③得分布列;④求数学期望。
　　2、构建答题模板
　　①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。
　　②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。
　　③定型：确定事件的概率模型和计算公式。
　　④计算：计算随机变量取每一个值的概率。
　　⑤列表：列出分布列。
　　⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。
　　专题八、函数的单调性、极值、最值问题
　　1、解题路线图
　　(1)①先对函数求导;②计算出某一点的斜率;③得出切线方程。
　　(2)①先对函数求导;②谈论导数的正负性;③列表观察原函数值;④得到原函数的单调区间和极值。
　　2、构建答题模板
　　①求导数：求f(x)的导数f′(x)。(注意f(x)的定义域)
　　②解方程：解f′(x)=0，得方程的根
　　③列表格：利用f′(x)=0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。
　　④得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。
　　⑤再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性。
　　以上模板仅供参考，希望大家能针对自己的情况整理出来最适合的“套路”。

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