[椭圆中点弦]中点弦问题

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　　中点弦问题(一)：定义

　　对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。

　　中点弦问题(二)：圆锥曲线中点弦公式

　　抛物线中点弦公式抛物线C：x^2(这里x^2表示x的平方，下同)=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。中点弦存在的条件：2pβ>α^2(点P在抛物线开口内)。

　　椭圆中点弦公式椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1(点P在椭圆内)。

　　双曲线中点弦公式双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0(点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内)。

　　中点弦问题(三)：二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理

　　蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性.不少中数专著或杂志至今还频繁讨论.本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式.引理：设两条不同的二次曲线S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线;又直线L0被S、S1、S2各截得一弦.若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合.证 设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3).因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点.注 两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O.故本定理包括了蝴蝶定理众多情形.定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线.若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等.证 设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证.注 由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等.[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭.如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如.定理1还可推广得到更一般的结论.定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数.证 不妨取坐标系使确定方向为x轴.于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0故 a11(x2-x0)=λb11(x2-x1) (4)即 OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)其中α=-λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定.当a11=0时，L∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列).(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化.推论 在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧.当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合.“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质.

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