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课时训练14 数列求和
一、分组求和
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12 C.-12 D.-15
答案:A
解析:an=(-1)n(3n-2),
则a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(nN*),则an为( )
A.+2n-1-1 B.+2n-1
C.+2n+1-1 D.+2n+1-1
答案:B
解析:∵an+1=an+n+2n,∴an+1-an=n+2n.
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]
=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)
=1++2n-1.
3.(2015广东湛江高二期末,19)已知数列{an}为等差数列,a5=5,d=1;数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)数列{an}为等差数列,a5=5,d=1,
a1+4=5,解得a1=1,an=1+(n-1)×1=n.
∵数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2,
b1·23=16,解得b1=2,bn=2×2n-1=2n.
(2)∵cn=an+bn=n+2n,
∴Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+23+…+2n)
=+2n+1-2.
二、裂项相消法求和
4.数列{an}的通项公式an=,则其前n项和Sn=( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析:an==2,
∴Sn=a1+a2+…+an
=2
=2.
5.+…+= .
答案:
解析:,
∴+…+
=.
6.(2015山东省潍坊四县联考,17)等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
由已知可得又q>0,
∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.
(2)由(1)知数列{an}中,a1=3,an=3n,
Sn=,∴,
∴Tn=
=.
三、错位相减法求和
7.数列,…,,…前n项的和为 .
答案:4-
解析:设Sn=+…+,
Sn=+…+,②
①-②得
Sn=+…+
=2-.Sn=4-.
8.(2015湖北高考,文19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)由题意有,
即解得
故
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,
于是Tn=1++…+,
Tn=+…+.②
①-②可得Tn=2++…+=3-,故Tn=6-.
(建议用时:30分钟)
1.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为( )
A.11 B.99 C.120 D.121
答案:C
解析:an=,
∴Sn=a1+a2+…+an=(-1)+()+…+()=-1,令-1=10,得n=120.
2.已知数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于( )
A.13 B.10 C.9 D.6
答案:D
解析:an==1-.
∴Sn=n-=n-1+=5+,
∴n=6.
3.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2 012等于( )
A.1 006 B.2 012 C.503 D.0
答案:A
解析:∵函数y=cos的周期T==4,
∴可分四组求和:
a1+a5+…+a2 009=0,
a2+a6+…+a2 010=-2-6-…-2 010==-503×1 006,
a3+a7+…+a2 011=0,
a4+a8+…+a2 012=4+8+…+2 012==503×1 008.
故S2 012=0-503×1 006+0+503×1 008
=503×(-1 006+1 008)=1 006.
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则+…+等于( )
A.(2n-1)2 B.(2n-1)
C.4n-1 D.(4n-1)
答案:D
解析:根据前n项和Sn=2n-1,可求出an=2n-1,
由等比数列的性质可得{}仍为等比数列,且首项为,公比为q2,
+…+=1+22+24+…+22n-2
=(4n-1).
5.已知数列{an}:,…,那么数列{bn}=前n项的和为( )
A.4 B.4
C.1- D.
答案:A
解析:an=,
∴bn==4.
∴Sn
=4
=4.
6.如果lg x+lg x2+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x= .
答案:2 046
解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,
55lg x=110.∴lg x=2.
∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.
7.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81.若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前2 013项的和为 .
答案:
解析:=q3=27,q=3.
∴an=a1·qn-1=3×3n-1=3n.∴bn=log3an=n.
∴,
∴数列的前2 013项的和为:
+…+
=1-.
8.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an的前n项和Sn等于 .
答案:1+(n-1)·2n
解析:{an}是等比数列,a4a2n-4==102n.
∴an=10n,∴2n-1lg an=n·2n-1.
利用错位相减法求得Sn=1+(n-1)2n.
9.正项数列{an}满足:-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.
由于{an}是正项数列,所以an=2n.
(2)由an=2n,bn=,
则bn=,
Tn=+…+.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,nN*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.
当n=1时,4×1-1=3.
所以an=4n-1,nN*.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,nN*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,nN*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5,nN*.
若数列??nx满足1lg1lgnnxx?????nN??(2)
高三数列压轴题归纳总结
一、奇偶数列求和问题： 1、相邻两项符号相异:
例：求和：Sn?1?5?9?13???(?1)n?1(4n?3);
2、相邻两项之和为常数;
例：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn
3、相间两项之差为常数;
例：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2 (n≥3)，Sn为{an}前n项和，求Sn
4、相间两项之比为常数;
例：已知an，an+1为方程x2?C1
nx?(3
)n?0的两根n∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+?+Cn，求an及S2n。
二、几个字母的取整问题：
1.设f(x)?x3，等差数列?an?中a3?7，a1?a2?a3?12，记Sn=fa?
，令b1
n?1n?anSn，数列{b的前n
n
项和为Tn.
(1)求?an?的通项公式和Sn; (2)求证：T1n?
3
; (3)是否存在正整数m,n，且1?m?n，使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由.
2...等比数列....
?c?满足c?c?10?n?1
，n?N*
，数列?aa
nn?1n4n?满足cn?2n (1)求?an?的通项公式;(5分) (2)数列?bn?满足bn?
1
a?a，Tn为数列?bn?的前n项和.求limTn;(nn?1
n??5分)
(3)是否存在正整数m,n?1?m?n?，使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在，求出所有m,n 的值;若不存在，请
说明理由.(6分)
3.数列?an?的前n项和记为Sn，且满足Sn?2an?1. (1)求数列?an?的通项公式;
(2)求和SC0C12n
1?n?S2?n?S3?Cn???Sn?1?Cn
; (3)设有m项的数列?bn?是连续的正整数数列，并且满足：
lg2?lg(1?
1b)?lg(1?1)???lg(1?1
)?lg(log2am). 1b2bm
问数列?bn?最多有几项?并求这些项的和.
4.设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn?1?pSn?q(n?N，p、q为常数)，a1?2，a2?1，a3?q?3p.
(1)求p、q的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
*
三、用放缩法求和问题及证明不等式问题：
1.已知数列?an?的前n项和Sn满足:Sn?2an?(?1),n?1.
n
(1)求证数列?an?
Sn?m2m
(3)是否存在正整数m，n，使得成立?若存在，请求出所有符合条件的有序整数对?m
Sn?1?m2?1
(m,n);若不存在，请说明理由.
5.已知数列{an}满足a1??项和.
2
(1) 若a2?a1?a3，求?的值;
(2)求数列?an?的通项公式;
?
?2?
(?1)n?是等比数列; 3?
1117
?????. a4a5am8
(3)证明：对任意的整数m>4,有
2、已知曲线C：y?
11
,Cn:y?(n?N?)，从C上的点Qn(xn,yn)作x轴的垂线，交Cn于点Pn，在从点?nxx?2
6
，1?a1?a2???an??an?1?0(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n7
Pn作y轴的垂线，交C与点Qn?1(xn?1,yn?1)，设x1?1,an?xn?1?xn，bn?yn?yn?1。
(1)求Q1,Q2的坐标; (2)求数列?an?的通项公式;
(3)记数列?an?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?
(2) 求数列{an}的通项公式an; (3) 当??
6.已知递增的等差数列{an}的首项a1?1，且a1、a2、a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)设数列{cn}对任意n?N，都有(3)若bn?
*
1
时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项;若不存在，请说明理由. 3
1; 3
3、记Sn
cc1c2
?2???n?an?1成立，求c1?c2???c2012的值. 222n
?1?
111n
????(n?1,n?N),求证：S2?1?(n?2,n?N) 23n2
n
4、求证：1?
an?1
(n?N*)，求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积. an
1111
????n??n，n?N? 2322
四、分段与周期数列
??an+c，an<3
1.已知以a1为首项的数列{an}满足：an+1=?a
， a≥3n?d?
⑴当a1=1，c=1，d=3时，求数列{an}的通项公式
⑵当0<a1<1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100
111111
⑶当0<a1<m是正整数)，c=d≥3m时，求证：数列a2-，a3m+2-a6m+2-a9m+2-成等比数
mmmmmm列当且仅当d=3m
2、已知函数f(x)?log2
2xf(x)图像上两点. ，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是
1?x
(1)若x1?x2?1，求证：y1?y2为定值; (2)设Tn?f???f?????f?
?1??n??2??n??n?1?
?，其中n?N*且n?2，求Tn关于n的解析式; ?n?
(3)对(2)中的Tn，设数列?an?满足a1?2，当n?2时，an?4Tn?2，问是否存在角a，使不等式
五、单调性求最值及恒成立问题：
1、设二次函数f(x)?(k?4)x2?kx
?1??1??1
?????1?1?1???a??a??a
1??2?n??
明理由.
?sin?
??对一切n?N*都成立?若存在，求出角?的取值范围;若不存在，请说?2n?1?
(k?R)，对任意实数x，有f(x)?6x?2恒成立;数列{an}满足
六、与其他知识点结合题型： 1、与二项式结合：
例：已知递增的等差数列{an}的首项a1?1，且a1、a2、a4成等比数列.
(1)求数列?an?的通项公式an;
an?1?f(an).
(1) 求函数f(x)的解析式和值域;
(2) 试写出一个区间(a,b)，使得当a1?(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由; (3) 已知a1?
1?
，是否存在非零整数?，使得对任意n?N，都有 3
???????1??1??1?n?1n?12
1(?21)?log?nlog3??log?????log????1???2n?1????32 3?3?3log111
??a1???a2???an??2??2??2?
恒成立，若存在，求之;若不存在，说明理由.
cc1c2
?2???n?an?1成立，求c1?c2???c2012的值. n222d*
(3)在数列{dn}中，d1?1，且满足n?an?1(n?N)，求下表中前n行所有数的和Sn.
dn?1
d1d1d2 d1d2d2d1d3 d3
(2)设数列{cn}对任意n?N，都有
*
??
d1dnd2dn?1dddd
?? kn?k?1?? n1
dddn?1dn?1
n?1 n?1
2、与程序框图结合：
例：对任意函数f?x?，x?D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
4、与圆锥曲线集合：
如图，?，?是曲线C:y?PP2(x2,y2)，Pn(xn,yn)，1(x1,y1)， 是x轴正半轴上的点，且?A0A1P，，?， ?AAP1221
2
1
x(y?0)上的点，A1(a1,0)，A2(a2,0)，?，2
An(an,0)，?
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1?f(x0);
②x1?D，则数列发生器结束工作;若x1∈D，则将x1反馈回输入断，再输出
x2?f(x1)，并依此规律继续下去.现定义 f(x)?
(1)若输出x0?
4x?2
. x?1
49
,则由数列发生器产生数列{xn}.请写出数列{xn}的所有项; 65
?An?1AnPn，? 均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0为坐标原点).
(1)写出an?1、an和xn之间的等量关系，
以及an?1、an和yn之间的等量关系; (2)猜测并证明数列{an}的通项公式; (
3
)
设
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x0的值;
(3)(理)若输出x0时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n均有
bn?
1an?1
?
1an?2
?
1an?3
???
A?x|x2?2ax?a2?1?0，x?R，若A?B??，求实常数a的取值范围.
??
1a2n
，集合
B??b1,b2,b3,?,bn,??
，
xn?xn?1，求x0的取值范围.
5、与函数结合：
例：已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f，直线g被f(x)的图()x?4(x?1)(1?x)?f(1?x)
3、与概率统计结合：
例：已知数列{an}是仅从?1,0,1这三个整数中取值所得 到的数列，?为常数，经过右框图中的程序处理，输出S和T.
(1)若输入n?50及一个确定的?值，且输出的S和T分别满足S??50?，
*
像截得的弦长为4，数列?an?满足a aa?gaf?a?0n?????1?2，?n?1nnn
?(1)求函数f(x)的解析式; (2)求数列?an?的通项公式;
T?34.试求总体a1,a2,?,an的标准差;
(2)若输入n?10，??1，且输出的S和T分别满足S?6，T?30.试求满足条件的数列{an}的个数;
?3fa?ga(3)设b，求数列?bn?的最值及相应的n ????nnn?1
6、与绝对值不等式结合：
(3)已知数列{an}中恰有54项的值为0，且输出的S的值为20，若对于任意的??4都有T?106恒成立，试求数列{an}的项数n的最小值.
*
给定常数c?0，定义函数f(x)?2|x?c?4|?|x?c|，数列a1,a2,a3,?满足an?1?f(an),n
?N.
(1)若a1??c?2，求a2及a3;(2)求证：对任意n?N,an?1?an?c，;
(3)是否存在a1，使得a1,a2,?an,?成等差数列?若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由.
*
七、创新定义数列：
1、如果存在常数a使得数列?an?满足：若x是数列?an?中的一项，则a?x也是数列?an?中的一项，称数列?an?为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”.
(1)若数列：1,2,4,m(m?4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值;
(2)已知有穷等差数列?bn?的项数是n0(n0?3)，所有项之和是B，求证：数列?bn?是“兑换数列”，并用n0和B..表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列?cn?，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.
*
3、对于给定数列{cn}，如果存在实常数p,q使得cn?1?pcn?q对于任意n?N都成立，我们称数列{cn}是 “M
类数列”.
(1)若an?2n，bn?3?2n，n?N，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”?若是，指出它对应的 实常数p,q，若不是，请说明理由;
(2)证明：若数列{an}是“M类数列”，则数列{an?an?1}也是“M类数列”;
(3)若数列{an}满足a1?2，an?an?1?3t?2n(n?N*)，t为常数.求数列{an}前2013项的和. 并判断{an}是否为“M类数列”，说明理由;
(4)根据对(2)(3)问题的研究，对数列{an}的相邻两项an、an?1，提出一个条件或结论 与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假.
4、定义：若数列?An?满足An?1?An，则称数列?An?为“平方递推数列”。已知数列?an? 中，a1?2，
2*
a?an?2
?an?1 ;②存在实数M，使an?M. 2、如果无穷数列?an?满足下列条件：①n
2
其中n?N，那么我们称数列?an?为?数列.
?
(1)设数列?bn?的通项为bn?5n?2n，且是?数列，求M的取值范围; (2)设?cn?是各项为正数的等比数列，Sn是其前项和，c3? 证明：数列?Sn?是?数列;
(3)设数列?dn?是各项均为正整数的?数列，求证：dn?dn?1.
点(an,an?1)在函数f(x)?2x2?2x的图像上，其中n为正整数。
(Ⅰ)证明：数列?2an?1?是“平方递推数列”，且数列?lg(2an?1)?为等比数列。
(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn?(2a1?1)(2a2?1)?(2an?1)， (Ⅲ)记bn?log2an?1Tn，求数列?bn?的前n项之和Sn，并求使Sn?2008的n的最小值。
求数列?an?的通项及Tn关于n的表达式。
若数列??nx满足1lg1lgnnxx?????nN??(3)
一、选择题
1.已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是( ).
A.a1+a3≥2a2 B.a+a≥2a
C.若a1=a3，则a1=a2 D.若a3>a1，则a4>a2
解析 设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确;选项C，当q=-1时不正确;选项D，当a1=1，q=-2时不正确;选项B正确，因为a+a≥2a1a3=2a.
答案 B
2.满足a1=1，log2an+1=log2an+1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是( ).
A.9 B.10 C.11 D.12
解析 因为a1=1，log2an+1=log2an+1(nN*)，所以an+1=2an，an=2n-1，Sn=2n-1，则满足Sn>1 025的最小n值是11.
答案 C
3.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( ).
A.5年 B.6年 C.7年 D.8年
解析 由已知可得第n年的产量an=f(n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合，据题意令an≥150n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年.
答案 C
4.在等差数列{an}中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n=( ).
A.7 B.8 C.9 D.10
解析 设公差为d，由题设3(a1+3d)=7(a1+6d)，
所以d=-a1<0.
解不等式an>0，即a1+(n-1)>0，
所以n<，则n≤9，
当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.
故当n=9时，Sn取得最大值.
答案 C.设y=f(x)是一次函数，若f(0)=1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( ).
A.n(2n+3) B.n(n+4)
C.2n(2n+3) D.2n(n+4)
解析 由题意可设f(x)=kx+1(k≠0)，
则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1)，解得k=2，
f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n.
答案 A
.若数列{an}为等比数列，且a1=1，q=2，则Tn=++…+的结果可化为( )
A.1- B.1-
C. D.
解析 an=2n-1，设bn==2n-1，
则Tn=b1+b2+…+bn=+3+…+2n-1
==.答案 二、填空题
.设关于x的不等式x2-x<2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________.
解析 由x2-x<2nx(nN*)，得0<x<2n+1，因此知an=2n.
S100==10 100.
答案 10 100
.已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则+=________.
解析 赋值法.如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x==3，y==6，+=2.
答案 2.设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lg xn，则a1+a2+a3+…+a99的值为________.
解析 由y′=(n+1)xn(xN*)，所以在点(1,1)处的切线斜率k=n+1，故切线方程为y=(n+1)(x-1)+1，令y=0得xn=，所以a1+a2+a3+…+a99=lg x1+lg x2+…+lg x99=lg(x1·x2·…·x99)=lg××…×=lg =-2.
答案 -2
.数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：
a24=;
数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列;
数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为Tn=;
若存在正整数k，使Sk<10，Sk+1≥10，则ak=.
其中正确的结论有________.(将你认为正确的结论序号都填上)
解析 依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n+1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于=.
对于，注意到21=<24<=28，因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24=，因此正确.
对于、，设bn为、中的数列的通项，则bn=
=，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×=，因此不正确，正确.
对于，注意到数列的前6组的所有项的和等于=10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak=，因此正确.
综上所述，其中正确的结论有.
答案 三、解答题
.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(nN*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
因为S5=5a3=35，a5+a7=26，
所以解得a1=3，d=2，
所以an=3+2(n-1)=2n+1，
Sn=3n+×2=n2+2n.
(2)由(1)知an=2n+1，
所以bn===-，
所以Tn=++…+
=1-=.
12.设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，nN*，且a1，a2+5，a3成等差数列.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明：对一切正整数n，有++…+<.
(1)解 当n=1时，2a1=a2-4+1=a2-3，
当n=2时，2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7，
又a1，a2+5，a3成等差数列，所以a1+a3=2(a2+5)，
由解得a1=1.
(2)解 2Sn=an+1-2n+1+1，
当n≥2时，有2Sn-1=an-2n+1，
两式相减整理得an+1-3an=2n，则-·=1，
即+2=.又+2=3，知
是首项为3，公比为的等比数列，
+2=3n-1，
即an=3n-2n，n=1时也适合此式，an=3n-2n.
(3)证明 由(2)得=.
当n≥2时，n>2，即3n-2n>2n，
++…+<1+2+3+…+n=1+<.
.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项.
(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn;
(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn=，求证：cn+1>cn(nN*).
(1)解 设公差为d，则
解得d=1或d=0(舍去)，a1=2，
所以an=n+1，Sn=.
又a1=2，d=1，所以a3=4，即b2=4.
所以数列{bn}的首项为b1=2，公比q==2，
所以bn=2n，Tn=2n+1-2.
(2)证明 因为Kn=2·21+3·22+…+(n+1)·2n，
故2Kn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1，
①-得-Kn=2·21+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1，
Kn=n·2n+1，则cn==.
cn+1-cn=-
=>0，
所以cn+1>cn(nN*).
.设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0.
(1)求证：{an}是首项为1的等比数列;
(2)若a2>-1，求证：Sn≤(a1+an)，并给出等号成立的充要条件.
证明 (1)由S2=a2S1+a1，得a1+a2=a2a1+a1，
即a2=a2a1.
因a2≠0，故a1=1，得=a2，
又由题设条件知Sn+2=a2Sn+1+a1，Sn+1=a2Sn+a1，
两式相减得Sn+2-Sn+1=a2(Sn+1-Sn)，
即an+2=a2an+1，由a2≠0，知an+1≠0，因此=a2.
综上，=a2对所有nN*成立.从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列.
(2)当n=1或2时，显然Sn=(a1+an)，等号成立.
设n≥3，a2>-1且a2≠0，由(1)知，a1=1，an=a，
所以要证的不等式化为：
1+a2+a+…+a≤(1+a)(n≥3)，
即证：1+a2+a+…+a≤(1+a)(n≥2)，
当a2=1时，上面不等式的等号成立.
当-1<a2<1时，a-1与a-1，(r=1,2，…，n-1)同为负;
当a2>1时，a-1与a-1，(r=1,2，…，n-1)同为正;
因此当a2>-1且a2≠1时，总有(a-1)(a-1)>0，即a+a<1+a，(r=1,2，…，n-1).
上面不等式对r从1到n-1求和得
2(a2+a+…+a)<(n-1)(1+a).
由此得1+a2+a+…+a<(1+a).
综上，当a2>-1且a2≠0时，有Sn≤(a1+an)，当且仅当n=1,2或a2=1时等号成立.
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